멱영 선형변환 📂선형대수

멱영 선형변환

Nilpotent Linear Transformation

정의1

벡터공간 $V$ 위의 선형변환 $T : V \to V$에 대해서, $T^{k} = T_{0}$를 만족하는 양수 $k$가 존재하면, $T$를 멱영nilpotent이라 한다. 이때 $T_{0}$는 영변환이다.

설명

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nil은 '영' 혹은 '없음'을 의미한다. potent의 의미는 '유력한'이며, potential의 어근이다. 따라서 nilpotent라는 말은 ‘$0$이 될 가능성/잠재력이 있는 것’으로 받아들이면 된다. ‘멱冪'은 수학에서 거듭제곱을 의미하고 '영零'은 숫자 $0$을 뜻한다. 따라서 멱영이란 이름 그대로 거듭제곱해서 $0$이 되는 선형사상을 의미한다.

성질

멱영인 선형변환 $T$는 다음의 성질들을 갖는다.

정리

$T : V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $\beta$를 $V$의 순서기저라고 하자. 그러면 $T$가 멱영인 것은 $T$의 행렬표현 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$가 멱영행렬인 것과 동치이다.

같이보기


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p512 ↩︎

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