뉴턴-코테스 적분 공식

뉴턴-코테스 적분 공식


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$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하고 $[a,b]$ 를 간격이 $\displaystyle h:= {{b-a} \over {n}}$ 로 일정한 $a = x_{0} < \cdots < x_{n} = b$ 와 같은 노드 포인트들로 쪼갰다고 하자. 다음과 같이 정의된 $I_{n}^{p}$ 을 뉴턴-코테스 공식이라 한다. $$ \displaystyle I_{n}^{p} (f) := \sum_{i=0}^{n} w_{i} f ( x_{i} ) $$

$f \in C^{n+2} [a,b]$ 라고 하면 $$ C_{n} := \begin{cases} \displaystyle {{1} \over {(n+2)! }} \int_{0}^{n} \mu^2 ( \mu - 1 ) \cdots ( \mu - n ) d \mu & , n \text{ is even} \\ \displaystyle {{1} \over {(n+1)! }} \int_{0}^{n} \mu ( \mu - 1 ) \cdots ( \mu - n ) d \mu & , n \text{ is odd} \end{cases} $$ 와 어떤 $ \xi \in [a,b]$ 에 대해 $$ \displaystyle E_{n}^{p} (f) = \begin{cases} C_{n} h^{n+3} f^{(n+2)} ( \xi ) & , n \text{ is even} \\ C_{n} h^{n+2} f^{(n+1)} ( \xi ) & , n \text{ is odd} \end{cases} $$

공식의 모양을 보았을 때 전혀 모르겠다면 정상이다.

사다리꼴 룰$1$차 폴리노미얼 인터폴레이션을 쓰고 심슨 룰$2$차 폴리노미얼 인터폴레이션을 썼다면 당연히 $p$차에 대해 일반화하는 것을 고려할 것이다. 뉴턴-코테스 적분 공식은 적분을 근사할 때 그 다항함수의 차수를 올려서 만들 수 있는 모든 룰을 포함한다.

(1) $p=1$ : $\displaystyle I^{1} (f) := h [ f(a) + f(b) ]$ 2. $p=2$ : $\displaystyle I^{2} (f) := {{h} \over {3}} \left[ f(a) + 4 f \left( {{a + b} \over {2}} \right) + f(b) \right] $ 3. $p=3$ : $\displaystyle I^{3} (f) := {{3h} \over {8}} \left[ f(a) + 3 f ( a + h ) + 3 f ( b - h ) + f(b) \right]$ 4. $p=4$ : $\displaystyle I^{4} (f) := {{2h} \over {45}} \left[ 7 f(a) + 32 f ( a + h ) + 12 f \left( {{a + b} \over {2}} \right) + 32 f(b - h) + 7 f(b) \right]$

(1)** 을 사다리꼴 룰이라고 한다.

(2)** 를 심슨 룰이라고 한다.

(3)** 을 **$3-8$ 룰Three-Eights Rule**이라 한다.

(4)** 를 **불즈 룰**Boole’s Rule이라 한다.

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