노이만 경계조건

노이만 경계조건

정의1

열린집합 $\Omega$에서 정의된 편미분방정식이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 경계 조건노이만 경계조건Neumann boundary condition이라 한다. 노이만 경계조건이 주어진 편미분방정식의 해를 찾는 문제를 노이만 문제Neumann problem라고 한다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$

이때 $\nu$는 외향 단위 법선 벡터이다.

설명

비동차 조건

다음과 같은 경계 조건을 비동차 노이만 조건nonhomogeneous Neumann condition이라 부르기도 하지만, 보통의 경우 동차냐 비동차냐를 꼼꼼하게 표기하지는 않는다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = g \quad \text{on } \partial \Omega $$

예시

가령 푸아송방정식에서 노이만 문제를 푸는 것은 다음을 만족하는 $u$를 찾는 것이다.

$$ \left\{ \begin{align*} -\Delta u = f & \quad \text{in } \Omega \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \quad \text{on }\partial \Omega \end{align*} \right. $$

같이보기


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p366 ↩︎

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