확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건

확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건

정리1

가층공간 $(X,\mathcal{E})$과 확장된 실수값을 갖는 함수 $f\ :\ X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$가 가측 함수가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

$$ f\text{ is measurable} \iff \begin{align} & \left\{ x \in X : f(x)=-\infty \right\} \in \mathcal{E} \label{eq1} \\ & \left\{ x \in X : \alpha < f(x) < +\infty \right\} \in \mathcal{E}\quad (\forall \alpha \in \mathbb{R}) \label{eq2} \end{align} $$


위의 정리는 확장된 실수값을 갖는 함수가 가측인지를 판별할 때, 확장된 실수값을 갖는 가측함수를 다룰 때 유용하게 사용된다.

보조정리

확장된 실수값을 갖는 함수 $f\ :\ X \rightarrow \overline{ \mathbb{R} }$가 $\mathcal{E}$-가측이라고 하자. 그러면 아래의 두 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left\{ x \in X\ :\ f(x) = +\infty \right\} &= \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ x \in X\ :\ f(x)>n \right\} \in \mathcal{E} \\ \left\{ x \in X\ :\ f(x)=-\infty \right\} &= \left[ \bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in X\ :\ f(x) >-n \right\}\right]^c \in \mathcal{E} \end{align*} $$

증명


  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p11-12 ↩︎

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