확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건

확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건

necessary and sufficient condition that a extended real valued function will be a measurable function

정리1

가층공간 $(X,\mathcal{E})$과 확장된 실수값을 갖는 함수 $f\ :\ X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$가 가측 함수가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

$$ f\text{ is measurable} \iff \begin{align} & \left\{ x \in X : f(x)=-\infty \right\} \in \mathcal{E} \label{eq1} \\ & \left\{ x \in X : \alpha < f(x) < +\infty \right\} \in \mathcal{E}\quad (\forall \alpha \in \mathbb{R}) \label{eq2} \end{align} $$


위의 정리는 확장된 실수값을 갖는 함수가 가측인지를 판별할 때, 확장된 실수값을 갖는 가측함수를 다룰 때 유용하게 사용된다.

보조정리

확장된 실수값을 갖는 함수 $f\ :\ X \rightarrow \overline{ \mathbb{R} }$가 $\mathcal{E}$-가측이라고 하자. 그러면 아래의 두 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left\{ x \in X\ :\ f(x) = +\infty \right\} &= \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ x \in X\ :\ f(x)>n \right\} \in \mathcal{E} \\ \left\{ x \in X\ :\ f(x)=-\infty \right\} &= \left[ \bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in X\ :\ f(x) >-n \right\}\right]^c \in \mathcal{E} \end{align*} $$

증명

  • $(\implies)$

    $f$가 가측이므로 보조정리에 의해서 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ f(x)=-\infty \right\} \in \mathcal{E} $$

    따라서 $\eqref{eq1}$이 성립한다. 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ \alpha < f(x) < +\infty \right\}= \left\{ x \in X\ :\ \alpha < f(x) \right\} \cup \left\{ x \in X\ :\ f(x)<+\infty \right\} $$

    우변의 첫번째 집합은 $\mathcal{E}$의 원소임이 분명하다. 두번째 집합에 대해서는 다음이 성립하므로 $\mathcal{E}$의 원소이다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ f(x)<+\infty \right\}=\bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in X\ :\ f(x)<n \right\} \in \mathcal{E} $$

    $\sigma$-대수의 정의에 의해서 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ \alpha < f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E} $$

    따라서 $\eqref{eq2}$를 만족한다.

  • $(\impliedby)$

    가측함수의 정의에 의해 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $\left\{ x \in X\ :\ f(x) > \alpha \right\} \in \mathcal{E}$임을 보이면 된다. 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ f(x) < +\infty \right\}= \left\{ x \in X\ :\ -\infty < f(x) < +\infty \right\} \cup \left\{ x \in X\ :\ f(x)=-\infty \right\} $$

    우변의 두번째 집합은 가정에 의해 $\mathcal{E}$의 원소이다. 또한 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ -\infty< f(x) <+\infty \right\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in X\ :\ -n < f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E} $$

    따라서 우변의 첫번째 집합 또한 $\mathcal{E}$의 원소임을 알 수 있다. $\sigma$-대수는 합집합에 대해서 닫혀 있으므로 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E} $$

    또한 $\sigma$-대수는 여집합에 대해서 닫혀있으므로 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ f(x)=+\infty \right\}= \left[ \left\{ x \in X\ :\ f(x) <+\infty \right\} \right]^c \in \mathcal{E} $$

    가정에 의해 $\left\{ x \in X\ :\ \alpha<f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E}$이고 $\sigma$-대수는 합집합에 대해서 닫혀있으므로 다음이 성립한다.

    $$ \left\{ x \in X\ :\ f(x) > \alpha \right\} = \left\{ x \in X\ :\ \alpha<f(x) <+\infty \right\} \cup \left\{ x \in X\ :\ f(x)=+\infty \right\} \in \mathcal{E} $$

    따라서 $f$는 가측이다.


  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p11-12 ↩︎

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