선형범함수가 연속일 필요충분조건

선형범함수가 연속일 필요충분조건

Necessary and Sufficient Condition of That Linear Functional to be Continuous

정리1

선형 범함수 $f$가 연속이다. $\iff$ $\ker(f)$ 은 $X$ 에서 닫힌 집합이다.

여기서 $\mathcal{N} (f) = \ker (f) = \left\{ x \in X \ | \ f(x) = 0 \right\}$는 선형변환 $f$의 커널이다.

증명

전략: $(\implies)$ 커널의 정의에 따라 직접 연역한다. $(\impliedby)$ 선형 작용소의 성질에 따라 연속성의 필요충분조건은 유계성이다 .$f$ 가 유계라는 걸 보이는 것은 비교적 쉽다.


  • $(\implies)$

    $x \in \overline { \ker (f) }$ 라고 하면 $n \to \infty$ 일 때 $x_{n} \to x$ 인 $\ker (f)$ 의 수열 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 존재한다. $f$ 는 연속이므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(x)$ 인데, $x_{n} \in \ker (f)$ 이므로

    $$ 0 = \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(X) $$

    즉 $x \in \ker (f)$ 이므로

    $$ \overline{ \ker (f) } \subset \ker (f) $$

    물론 $\ker (f) \subset \overline { \ker (f) }$ 이므로 $\ker (f) = \overline { \ker (f) }$ 이고, 따라서 $\ker (f) $ 는 $X$ 에서 닫힌 집합이다.

  • $(\impliedby)$

    $\| f \| = \infty$ 라고 가정하면

    $$ \| y_{n} \| = 1 $$

    $$ \lim_{n \to \infty } |f(y_{n} ) | = \infty $$

    를 만족하는 $X$ 의 수열 $\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 존재한다.

    한편 $f \ne 0$ 이므로 $f( x_{0 } ) \ne 0$ 인 $x_{0} \in X$ 이 존재할 것이다. 이제 $\displaystyle e: = {{x_{0}} \over { f ( x_{0} ) }}$ 라고 두면

    $$ f(e) = 1 $$

    새로이 수열 $\displaystyle z_{n} : = f(e) - {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }}$ 을 정의하면

    $$ f(z_{n} ) = f(e) - {{ f ( y_{n} ) } \over { f(y_{n}) }} = 0 $$

    이므로, $z_{n } \in \ker (f)$ $n \to \infty$ 일 때 $\displaystyle \| z_{n} - e \| = \left\| {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }} \right\| = \| {{ 1 } \over { f(y_{n}) }} \| \left\| y_{n} \right\| \to 0$ 이므로,

    $$ z_{n} \to e $$

    따라서 $e \in \ker (f)$ 이고, $1 = f(e) = 0$ 인데 이는 모순이다.

    선형작용소의 성질

    $T$ 는 연속 $\iff$ $T$ 는 유계

    $\| f \| < \infty$ 라는 말은 즉 $f$ 가 유계라는 것이고, 따라서 $f$ 는 연속이다.


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p103~104. ↩︎

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