선형범함수가 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건

선형범함수가 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건

Necessary and Sufficient Condition of That Linear Functional is Linearly Independent

정리

$f, f_{1} , \cdots , f_{n}$ 가 정의역이 $X$ 인 선형범함수라고 하자.

(a) $c_{1} , \cdots , c_{n} \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\displaystyle f = \sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i}$ $\iff$ $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f)$

(b) $f_{1} , \cdots , f_{n}$ 이 선형독립 $\iff$ $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ 을 만족하는 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 이 존재한다.

이때 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

설명

커널동차homogeneous의 개념과 관계가 있다는 걸 생각해보면 선형 동차 미분방정식에 대한 유용한 팩트임을 짐작할 수 있다. 하지만 공부하는 입장에선 증명이 지나치게 길고 어렵고 복잡해서 그냥 팩트라도 잘 숙지하는 걸 추천한다.

증명

(a)

전략: $( \implies )$ 커널의 정의만 사용하면 쉽게 보일 수 있다. $( \impliedby )$ 구체적으로 $c_{1} , \cdots , c_{n}$ 을 찾아낸다.


  • $(\implies )$

    $\displaystyle x \in \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} )$ 이므로

    $$ f_{i} ( x ) = 0 $$

    $\displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i} (x) = 0$ 이므로

    $$ x \in \ker (f) $$

    정리하면

    $$ \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) $$

  • $( \impliedby )$

    명제 $ \displaystyle P(n) : \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) \implies f = \sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i}$ 을 정의하고 수학적 귀납법을 사용하자.

    단 $f = 0$ 이면 자명하므로 $f \ne 0$ 이라고 가정한다.

    • Part 1. $n=1$

      $\ker (f_{1} ) \subset \ker (f)$ 이므로

      $$ f_{1} \ne 0 $$

      $$ f_{1} (x_{1} ) = 1 $$

      을 만족하는 $x_{1} \in X$ 가 존재한다. $x \in X$ 이라고 하면 $x - f_{1} (x) x_{1} \in X$ 이고, 여기에 $f_{1}$ 를 작용시키면

      $$ f_{1} ( x - f_{1} (x) x_{1} ) = f_{1} ( x ) - f_{1} (x) f_{1} ( x_{1} ) = 0 $$

      즉 $x - f_{1} (x) x_{1} \in \ker (f_{1} ) \subset \ker (f)$ 이고, 여기에 $f$ 를 작용시키면

      $$ 0 = f ( x - f_{1} (x) x_{1} ) = f(x) - f_{1} (x) f_{1} (x_{1}) $$

      정리해보면 $f_{1} (x_{1}) \in \mathbb{C}$ 에 대해 $f(x) = f_{1} (x_{1}) f_{1} (X)$ 와 같이 나타낼 수 있는 것이다.

    • Part 2. $n=N-1$

      $P(N-1)$ 가 성립한다고 가정하자.

    • Part 3. $n=N$

      • Case 1. $f_{1} , \cdots , f_{N}$ 가 선형독립이 아닌 경우

        $f_{1} , \cdots , f_{N}$ 가 선형독립이 아니므로

        $$ t_{1} f_{1} + \cdots + t_{N} f_{N} = 0 $$

        $$ t_{i_{0}} \ne 0 $$

        을 만족하는 어떤 $t_{i} \in \mathbb{C}$ 들이 존재한다. $f_{i_{0}}$는

        $$ \displaystyle f_{i_{0}} = {{1} \over { t_{i_{0}} }} \left( \sum_{i \ne i_{0}} t_{i} f_{i} \right) =\sum_{i \ne i_{0}} \left( {{t_{i} } \over { t_{i_{0}} }} \right) f_{i} $$

        와 같이 나타나므로

        $$ \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f_{ i_{0}} ) $$

        $\displaystyle \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} )$ 이 $\displaystyle \ker (f_{ i_{0}} )$ 에 포함되므로

        $$ \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} ) = \left[ \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} ) \right] \cap \ker (f_{i_{0}} ) = \bigcap_{i=1}^{ N } \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) $$

        그런데 Part 2. 에서 $P(N-1)$ 가 성립한다고 가정했으므로 $\displaystyle f = \sum_{ i \ne i_{0}} c_{i} f_{i} + 0 f_{i_{0}}$ 를 만족하는 $c_{1} , \cdots , c_{N-1} \in \mathbb{C}$ 가 존재한다.

      • Case 2. $f_{1} , \cdots , f_{N}$가 선형독립인 경우

        $1 \le k \le N$ 에 대해 $\displaystyle \bigcap_{ k \ne i } \ker ( f_{k} ) \subset \ker (f_{i} )$ 이라고 가정하면 Part 2. 에서 $P(N-1)$ 가 성립한다고 가정했으므로 어떤 $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{N} \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\displaystyle f_{i} = \sum_{ k \ne i } \lambda_{k} f_{k}$ 와 같이 나타나고, $f_{1} , \cdots , f_{N}$ 는 선형독립이 아니게 되고 $\displaystyle \bigcap_{ k \ne i } \ker ( f_{k} ) \not\subset \ker (f_{i} )$ 이어야만한다. 그러면 $$ \displaystyle y_{i} \in \left[ \bigcap_{ k \ne i } \ker ( f_{k} ) \right] \setminus \ker (f_{i} ) $$

        $$ y_{i} \in \ker (f_{i} ) $$

        를 만족하는 $y_{1} , \cdots , y_{N} \in X$ 가 존재한다. 이에 대해 $\displaystyle x_{i} := {{ y_{i}} \over {f_{i} ( y_{i} ) }}$ 이라 정의해보면

        $$ \begin{cases} \displaystyle f_{j} (x_{i} ) = {{ f_{j} (y_{i}) } \over { f_{i} (y_{i} ) }} = 0 \\ \displaystyle f_{i} (x_{i} ) = {{ f_{i} (y_{i}) } \over { f_{i} (y_{i} ) }} = 1 \end{cases} \implies f_{j} ( x_{ i} ) = \delta_{ij} = \begin{cases} 0 & , i \ne j \\ 1 & , i = j \end{cases} $$

        이제 임의의 $x \in X$ 로 정의된 $\displaystyle x - \sum_{i=1}^{N} f_{j} (x) x_{j}$ 에 $f_{i}$ 를 작용 시키면 모든 $i = 1 , \cdots , N$ 에 대해

        $$ \begin{align*} f_{i } \left( x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j} \right) =& f_{j} (x) - \sum_{i=1}^{N} f_{j} (x) f_{i} ( x_{j} ) \\ =& f_{i} (x) - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) \delta_{ij} \\ =& f_{i} (x) - f_{i} (x) \\ =& 0 \end{align*} $$

        이를 집합의 포함관계로 나타내보면

        $$ \left( x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j} \right) \in \bigcap_{i=1}^{N} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) $$

        커널의 정의에 따라 $\displaystyle x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j}$ 에 $f$ 를 작용시키면

        $$ f \left( x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j} \right) = f(x) - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) f ( x_{j} ) = 0 $$

        $$ \implies f(x) =\sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) f ( x_{j} ) = \left[ \sum_{j=1}^{N} f_{j} f ( x_{j} ) \right] (x) $$

        $$ \implies f = \sum_{j=1}^{N} f ( x_{j} ) f_{j} $$

        즉 $f$ 는 구체적인 $f ( x_{1} ) , \cdots , f ( x_{N} ) \in \mathbb{C}$ 에 대해 $f_{1} , \cdots , f_{N}$ 의 선형결합으로 나타난다.

      따라서 $f_{1} , \cdots , f_{N}$ 이 선형독립이든 아니든 명제 $P(n)$ 은 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 성립한다.

(b)

Strategy: 사실상 (a) 의 따름정리다.


  • $(\implies)$

    실제로 증명(a) -$(\impliedby)$-Part 3. -Case 2. 에서 $f_{1} , \cdots , f_{n}$ 이 선형독립이면 $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ 을 만족하는 $\displaystyle x_{i} := {{ y_{i}} \over {f_{i} ( y_{i} ) }}$ 들이 존재했다.

  • $(\impliedby)$

    $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ 을 만족하는 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 이 존재할 때 $c_{1} f_{1} (x) + \cdots + c_{n} f_{n} (x) = 0$ 를 생각해보자. $x_{1}$ 을 대입해보면

    $$ c_{1} f_{1} (x_{1} ) + 0 + \cdots + 0 = c_{1} = 0 $$

    마찬가지로 $x_{i}$ 을 대입해보면

    $$ 0 + \cdots + 0 + c_{i} f_{i} + 0 + \cdots + 0 = c_{i} = 0 $$

    따라서 $c_{1} f_{1} (x) + \cdots + c_{n} f_{n} (x) = 0$ 를 만족시키는 경우는 $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ 뿐이고, $f_{1} , \cdots , f_{n}$ 은 선형독립이다.

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