선형범함수가 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건

선형범함수가 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건

정리

$f, f_{1} , \cdots , f_{n}$ 가 정의역이 $X$ 인 선형범함수라고 하자.

(a) $c_{1} , \cdots , c_{n} \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\displaystyle f = \sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i}$ $\iff$ $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f)$

(b) $f_{1} , \cdots , f_{n}$ 이 선형독립 $\iff$ $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ 을 만족하는 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 이 존재한다.

이때 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

설명

커널동차homogeneous의 개념과 관계가 있다는 걸 생각해보면 선형 동차 미분방정식에 대한 유용한 팩트임을 짐작할 수 있다. 하지만 공부하는 입장에선 증명이 지나치게 길고 어렵고 복잡해서 그냥 팩트라도 잘 숙지하는 걸 추천한다.

증명

(a)

Strategy: $( \implies )$ 커널의 정의만 사용하면 쉽게 보일 수 있다. $( \impliedby )$ 구체적으로 $c_{1} , \cdots , c_{n}$ 을 찾아낸다.


(b)

Strategy: 사실상 (a) 의 따름정리다.


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