균등수렴할 필요충분조건

균등수렴할 필요충분조건

정리1

$E\subset \mathbb{R}$에서 정의된 함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$이 주어졌다고 하자. 아래의 두 조건은 동치이다.


다시 말해 모든 $x \in E$에 대해서 $\left\{ f_{n}(x) \right\}$가 코시 수열인 것과 $\left\{ f_{n} \right\}$이 $E$에서 균등수렴하는 것과 같다.

증명

정리2

$E \subset \mathbb{R}$이고 $x\in E$라고 하자. 그리고 다음이 성립한다고 하자.

$$ \lim \limits_{n\to \infty} f_{n}(x) =f(x) $$

$M_{n}$을 다음과 같이 두자.

$$ M_{n}=\sup \limits_{x\in E}\left| f_{n}(x)-f(x) \right| $$

그러면 아래의 두 조건은 동치이다.


균등수렴의 정의를 생각해보면 같은 말을 다르게 적어놓은 것과 같다.

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