균등수렴할 필요충분조건

균등수렴할 필요충분조건

necessary and sufficient condition for uniform convergence

정리1

$E\subset \mathbb{R}$에서 정의된 함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$이 주어졌다고 하자. 아래의 두 조건은 동치이다.

  • $\left\{ f_{n} \right\}$이 $E$위에서 균등수렴한다.

  • 모든 $\varepsilon>0$에 대해서 아래의 식을 만족시키는 자연수 $N$이 존재한다. $$ \begin{equation} \quad m,n\ge N,\ x\in E \implies \left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| \le \varepsilon \label{eq1} \end{equation} $$


다시 말해 모든 $x \in E$에 대해서 $\left\{ f_{n}(x) \right\}$가 코시 수열인 것과 $\left\{ f_{n} \right\}$이 $E$에서 균등수렴하는 것과 같다.

증명

  • $(\implies)$

    $\left\{ f_{n} \right\}$이 $f$로 균등수렴한다고 가정하자. 그러면 정의에 의해서 아래의 식을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.

    $$ n \le N, x\in E \implies \left| f_{n}(x)- f(x) \right| \le \frac{\varepsilon}{2} $$

    따라서 $n,m\ge N$, $x\in E$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

    $$ \begin{align*} \left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| & = \left| f_{n}(x)-f(x)+f(x)-f_{m}(x) \right| \\ & \le \left| f_{n}(x)-f(x) \right| + \left|f(x)-f_{m}(x) \right| \\ &\le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
    \end{align*} $$

  • $(\impliedby)$

    가정에 의해 $\left\{ f_{n}(x) \right\}$가 코시 수열이므로 수렴한다. 이 극한을 $f(x)$라고 하자. 그러면 $\left\{ f_{n} \right\}$이 $E$ 위에서 $f$로 점별수렴한다.

    이제 이 수렴이 균등 수렴이라는 것을 밝히면 증명이 끝난다. $\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 그리고 $\eqref{eq1}$이 성립하도록 하는 $N$을 선택하자. 그리고 고정된 $n$에 대해서 $\eqref{eq1}$에 $m \to \infty$인 극한을 취하자. 그러면 다음이 성립한다.

    $$ \lim \limits_{m\to \infty}f_{n}(x)=f(x) $$

    따라서 모든 $n\ge N$, $x\in E$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ \lim \limits_{m\to \infty}\left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| =\left| f_{n}(x)-f(x) \right| \le \varepsilon $$

    그러므로 $\left\{ f_{n} \right\}$이 $f$로 균등수렴한다.

정리2

$E \subset \mathbb{R}$이고 $x\in E$라고 하자. 그리고 다음이 성립한다고 하자.

$$ \lim \limits_{n\to \infty} f_{n}(x) =f(x) $$

$M_{n}$을 다음과 같이 두자.

$$ M_{n}=\sup \limits_{x\in E}\left| f_{n}(x)-f(x) \right| $$

그러면 아래의 두 조건은 동치이다.

  • $\left\{ f_{n} \right\}$이 $E$에서 $f$로 균등수렴한다.

  • $\lim \limits_{n \to \infty}M_{n}=0$


균등수렴의 정의를 생각해보면 같은 말을 다르게 적어놓은 것과 같다.

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