거리공간에서 연속함수일 동치 조건

거리공간에서 연속함수일 동치 조건

정리1

거리공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$에 대해서, $E\subset X$이고 $p \in E$, $f : E \to Y$라고 하자. 그러면 아래의 세 명제는 동치이다.

(1a) $f$가 $p$에서 연속이다.

(1b) $ \lim \limits_{x \to p} f(x)=f(p)$이다.

(1c) $\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p$인 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서, $\lim \limits_{n\to\infty} f(p_{n})=f(p)$이다.

증명

정리2

두 거리공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$에 대해서, $f : X \to Y$라고 하자. 그러면 아래의 세 명제는 동치이다.

(2a) $f$가 $X$에서 연속이다.

(2b) 모든 $Y$의 열린 집합 $O_{Y}$에 대해서 $f^{-1}(O_{Y})$는 $X$에서 열린 집합이다.

(2c) 모든 $Y$의 닫힌 집합 $C_{Y}$에 대해서 $f^{-1}(C_{X})$는 $X$에서 닫힌 집합이다.여기서 $f^{-1}$는 역함수가 아니라 프리이미지를 의미한다.

증명

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