거리공간에서 연속함수일 동치 조건

거리공간에서 연속함수일 동치 조건

necessary and sufficient condition for continuous function in metric space

정리1

거리공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$에 대해서, $E\subset X$이고 $p \in E$, $f : E \to Y$라고 하자. 그러면 아래의 세 명제는 동치이다.

(1a) $f$가 $p$에서 연속이다.

(1b) $ \lim \limits_{x \to p} f(x)=f(p)$이다.

(1c) $\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p$인 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서, $\lim \limits_{n\to\infty} f(p_{n})=f(p)$이다.

증명

정리2

두 거리공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$에 대해서, $f : X \to Y$라고 하자. 그러면 아래의 세 명제는 동치이다.

(2a) $f$가 $X$에서 연속이다.

(2b) 모든 $Y$의 열린 집합 $O_{Y}$에 대해서 $f^{-1}(O_{Y})$는 $X$에서 열린 집합이다.

(2c) 모든 $Y$의 닫힌 집합 $C_{Y}$에 대해서 $f^{-1}(C_{X})$는 $X$에서 닫힌 집합이다.여기서 $f^{-1}$는 역함수가 아니라 프리이미지를 의미한다.

증명

  • (2a) $\implies$ (2b)

    $f$가 $X$에서 연속이라고 가정하자. $O_{Y}$는 $Y$에서 열린 집합이다. 열린 집합의 정의에 의해 $f^{-1}(O_{Y})$의 모든 점이 $f^{-1}(O_{Y})$의 내점이라는 것을 보이면 된다. 임의의 $f(p) \in O_{Y}$를 생각해보자. 그러면 $p \in f^{-1}(O_{Y})$이다. $O_{Y}$가 오픈이므로 $f(p)$는 $O_{Y}$의 내점이다. 따라서

    $$ \begin{equation} d_{Y}(y,f(p)) < \varepsilon \implies y \in O_{Y} \label{eq1} \end{equation} $$

    가 성립하도록 하는 양수 $\varepsilon$가 존재한다. 그러면 $f$가 $X$에서 연속이므로, 이러한 $\varepsilon$에 대해서

    $$ \begin{equation} d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \label{eq2} \end{equation} $$

    가 성립하도록 하는 어떤 $\delta >0$가 존재한다. 그런데 $\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$에 의해

    $$ d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \implies f(x)\in O_{Y} $$

    이므로 $x \in f^{-1}(O_{Y})$이다. 그러면 어떤 양수 $\delta$에 대해서

    $$ d_{X}(x,p) < \delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y}) $$

    가 성립하므로 $p$는 $f^{-1}(O_{Y})$의 내점이고 $f^{-1}(O_{Y})$는 오픈이다.

  • (2b) $\implies$ (a2)

    (2b) 를 가정하자. 그리고 임의의 $p \in X$와 $\varepsilon >0$을 선택하자. 그리고 집합 $O_{Y}$를 다음과 같다고 하자.

    $$ O_{Y} =\left\{ y : d_{Y}(y,f(p))<\varepsilon \right\} $$

    그러면 $O_{Y}$는 $Y$에서 열린 집합이다. 그러면 가정에 의해 $f^{-1}(O_{Y})$는 $X$에서 열린 집합이다. 따라서

    $$ d_{X}(x,p) <\delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y}) $$

    를 만족시키는 양수 $\delta >0$가 존재한다. 그러면

    $$ x\in f^{-1}(O_{Y}) \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p)< \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon $$

    가 성립하므로 연속의 정의에 의해 $f$는 모든 $p \in X$에서 연속이다.

  • (2b) $\iff$ (2c)

    (2b) $\implies$ (2c) 만 보이면 같은 논리로 반대쪽도 보일 수 있으므로 나머지 증명은 생략한다. (2b) 가 성립한다고 가정하자. $Y$에서 열린 집합 $O_{Y}$에 대해서 풀어쓰면 아래와 같다.

    $$ O_{Y}\mathrm{\ is\ open\ in\ } Y \implies f^{-1}(O_{Y})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$

    열린 집합은 닫힌 집합의 여집합이므로 $O_{Y}=(C_{Y})^{c}$라고 두면 위 문장은 다음과 같다.

    $$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}((C_{Y})^{c})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$

    그런데 $f^{-1}((C_{Y})^{c})=(f^{-1}(C_{Y}))^{c}$이므로 다음이 성립한다.

    $$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies (f^{-1}(C_{Y}))^{c}\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$

    또한 열린 집합의 여집합은 닫힌 집합이므로 다음이 성립한다.

    $$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}(C_{Y})\mathrm{\ is\ closed\ in\ }X $$

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