유한차원 벡터공간에서 기저일 필요충분조건

유한차원 벡터공간에서 기저일 필요충분조건

necessary and sufficient condition for basis

정리1

$V$를 $n$차원 벡터공간이라고 하자. 부분집합 $S\subset V$가 $n$개의 원소를 갖는다고 하자. $S$가 $V$의 기저일 필요충분조건은 $V = \text{span}(S)$이거나 $S$가 선형독립인 것이다.

설명

벡터공간, 차원, 기저, 생성, 독립 등 선형대수에서 중요한 기초 개념이 모두 등장한다. 임의의 집합이 벡터공간의 기저가 되려면 벡터공간을 생성하는 선형독립 집합이어야 한다. 일반적으로는 두 조건에 대해서 각각 보여야하지만, 차원과 같은 수의 원소를 갖는 집합은 둘 중 하나만 성립하면 나머지 하나도 성립한다.

증명

한쪽방향은 자명하기 때문에 사실상 $S$가 $V$를 생성하는 것과 $S$가 선형독립인 것은 필요충분조건이라는 것을 증명하는 것과 같다.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p250-251 ↩︎

  2. 정리 (b) ↩︎

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