자연스러운 임베딩과 반사적인 공간 📂바나흐공간

자연스러운 임베딩과 반사적인 공간

Natural Imbedding and Reflexive Space

정의1

$X$를 놈 공간이라고 하자. 그리고 $X^{\ast \ast}=(X^{\ast})^{\ast}$를 $X$의 세컨드 듀얼이라고 하자. 함수 $J : X \to X^{\ast \ast}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ J(x)=J_{x},\quad x\in X $$

이때 $J_{x} \in X^{\ast \ast}$는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

$$ J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C} \quad \text{and} \quad J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x) $$

이때 $J$는 임베딩이 된다. 이러한 $J$를 자연스러운 임베딩natural imbedding 혹은 자연스러운 인젝션natural injection이라 한다.

설명

놈 공간 $X$가 주어지면 자연스럽게 $X^{\ast \ast}$가 주어지고 $X$에서 $X^{\ast \ast}$로의 임베딩이 존재한다. 이런 이유로 $J$를 자연스러운 임베딩이라 한다.

증명

$J_{x}$는 $X^{\ast \ast}$의 원소이므로 $X^{\ast}$의 선형 범함수이다. 다시 말해

$$ J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C} $$

$X^{\ast}$의 선형 범함수 $J_{x}$를 아래와 같이 정의하자.

$$ J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x),\quad x^{\ast} \in X^{\ast} $$

위와 같이 정의했을 때 $J_{x}$가 선형이 되는 것은 $x^{\ast}$가 선형이므로 매우 자명하다. 정리하자면 사상 $J$에 의해 $x$로부터 대응되는 $J_{x}$는 $x^{\ast}$를 $x^{\ast}(x)$로 대응시킨다. 그리고 아래의 식이 성립한다. $$ \begin{align*} |J_{x}(x^{\ast}) | =&\ | x^{\ast}(x)| \\ =&\ \left| \|x\|\frac{1}{\|x\|} x^{\ast}(x) \right| \\ =&\ \|x\| \left| x^{\ast}\left( \frac{1}{\|x\|} \right) \right| \\ \le & \|x\ ; X\| \| x^{\ast}\ ;X^{\ast}\| \end{align*} $$

세 번째 줄에서 $\|x\|$는 상수이므로 절댓값 밖으로 나올 수 있고, $x^{\ast}$가 선형이므로 $\frac{1}{\|x\|}$가 함수 안으로 들어갔다. 또한 네 번째 줄은 $\left\| \frac{x}{\|x\|} \right\| =1$이고 듀얼의 놈의 정의에 의해 $\| x^{\ast}\|=\sup \limits_{\substack{ \|x\| \le 1 \\ x\in X}} |x^{\ast}(x)|$이므로 성립한다. 위의 결과로 $J_{x}$의 놈을 구해보면

$$ \begin{align*} \| J_{x}|| =&\ \sup \limits_{\substack{ \|x^{\ast}\| \le 1 \\ x^{\ast} \in X^{\ast}}} | J_{x}(x^{\ast})| \\ \le & \sup \limits_{\|x^{\ast}\| \le 1 \\ x^{\ast} \in X^{\ast}} \|x\| \|x^{\ast}\| \end{align*} $$

따라서

$$ \begin{equation} \|J_{x} \| \le \|x\| \end{equation} $$

또한 한-바나흐 확장 정리에 의해 임의의 $x\in X$에 대해 아래의 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $w^{\ast} \in X^{\ast}$가 존재한다.

$$ \|w^{\ast}\|=1,\quad w^{\ast}(x)=\| x\| $$

따라서 고정된 $x$에 대해서 위의 정리를 만족하는 $w^{\ast}$가 있고, 이에 따라 아래의 식이 성립한다.

$$ \|J_{x}\| = \sup \limits_{\substack{\|x^{\ast}\| \le 1 \\ x^{\ast}\in X^{\ast}}} |J_{x}(x^{\ast})| \ge |J_{x}(w^{\ast})|=|w^{\ast}(x)|=\|x\| $$

따라서 $(1)$의 결과와 같이 적으면

$$ \|x\| \le \|J_{x}\| \le \|x\| $$

따라서 $\|x\|=\|J_{x}\|$이다. 즉, $J$는 등거리 사상이다. 등거리 사상은 임베딩이므로 $J$는 $X$에서 $X^{\ast \ast}$로의 임베딩이 된다.

정의

내츄럴 임베딩 $J$에 대해서 $J(X)=X^{\ast \ast}$일 때, 즉 $J$가 전단사이면 놈 공간 $X$를 반사적reflexive이라 한다.

설명

임베딩에 대한 내용을 이해하기 어려운 사람들 위해 다시 적으면 아래와 같다.


$X$를 놈 공간이라고 하자. 이때 $x\in X$, $x^{\ast \ast} \in X^{\ast \ast}$에 대해서 아래의 조건을 만족하면 $X$를 반사적이라 한다.

$$ \|x\ ; X\| = \| x^{\ast \ast}\ ; X^{\ast \ast} \| $$


$X$와 $X$의 바이듀얼에 대해서 임베딩이 존재한다는 것은 $X \cong J(X) \subset X^{\ast \ast}$이라는 말이다. 즉 $X$에 듀얼을 취할수록 $X$보다 점점 큰 공간이 된다는 뜻이다. 그런데 $X$가 반사적인 공간이라면 듀얼을 취해도 커지지 않고 그 크기가 유지된다. 다시 말해 $X^{\ast \ast}$는 $X$와 겉으로 달라 보이더라도 사실상 구조가 같은 집합이다. 또한 반사적인 공간은 항상 완비이다. 즉, 반사적인 놈 공간은 바나흐 공간이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p6-7 ↩︎

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