📂다변수벡터해석

n차원 극좌표

n-Dimensional Polar Coordinate

정의¹

점 $x \in \mathbb{R}^{n}$의 데카르트 좌표를 $x_{1}, \dots, x_{n}$이라고 하자. 그러면 이 점의 극좌표^{polar coordinates} $r, \varphi_{1}, \dots, \varphi_{n-1}$와의 관계는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} x_{n} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{n-1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \\ x_{n-2} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ \vdots& \\ x_{4} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \sin \varphi_{n-2} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} \\ \end{align*} $$

여기서

$$ 0 \le \varphi_{i} \le \pi \ (1 \le i \le n-2), \quad 0 \le \varphi_{n-1} \le 2\pi $$

설명

위의 공식이 헷갈릴 수 있는데, 먼저 $x_{n}$을 $r\cos\varphi_{1}$로 두고 나머지는 아래에서부터 $x_{1}, x_{2}, \dots$의 공식을 참고해서 값을 두면된다. 자세한 내용은 아래의 예시를 참고하자. 예시에서 2차원일 때는 극좌표, 3차원일 때는 구면좌표라고 설명했지만 반드시 그렇게 불러야하는 것은 아니다. 물리학에서는 일반적인 $n$차원에 대해서 다룰 일이 없으므로 이러한 구분이 중요하고 실제로 각 명칭이 2차원, 3차원임을 의미한다. 하지만 수학에서는 극좌표나 구면좌표라는 명칭에서 차원을 제한하는 느낌이 훨씬 덜하다. 어떻게 쓰느냐는 취향차이인 것 같다.

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$n=2$

이 경우를 특히 극좌표^{polar coordanates}라고 하며, 흔히 $\theta = \varphi_{1}$로 표기한다. 그러면 $x_{2}$는

$$ x_{2} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta $$

$x_{1}$은, $n=2$를 대입하면,

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} = r \sin \theta $$

따라서

$$ \begin{align*} x_{2} &= y = r \cos \theta \\ x_{1} &= x = r \sin \theta \\ \end{align*} $$

$$ \left| \mathbf{x} \right| = r^{2} \cos^{2}\theta + r^{2} \sin^{2}\theta = r^{2} = \left| \mathbf{r} \right| $$

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$n=3$

이 경우를 특히 구좌표^{spherical coordinates}라 부르며 흔히 $\theta = \varphi_{1}$, $\phi = \varphi_{2}$로 표기한다. $x_{3}$은

$$ x_{3} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta $$

$x_{2}$는, $n=3$을 대입하면,

$$ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} = r \sin \theta \sin \varphi $$

$x_{1}$은, $n=3$을 대입하면,

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} = r \sin \theta \cos \varphi $$

따라서

$$ \begin{align*} x_{3} &= z= r \cos \theta \\ x_{2} &= y= r \sin \theta \sin \varphi \\ x_{1} &= x= r \sin \theta \cos \varphi \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} &= r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + r^{2}\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*} $$

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$n=4$

$n=4$까지만 해보자. $x_{4}$는,

$$ x_{4} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} $$

$x_{3}$는, $n=4$를 대입하면,

$$ x_{3} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} $$

$x_{2}$는, $n=4$를 대입하면,

$$ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} $$

$x_{1}$은, $n=4$를 대입하면,

$$ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} $$

따라서

$$ \begin{align*} x_{4} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| &= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} \\ &= (r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}) + r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3}\\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \cos^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \sin^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*} $$

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$x \ne 0$에 대해서 다음을 얻는다.

$$ \boldsymbol{\theta} = \dfrac{x}{\left| x \right|} \in S^{n-1}, \quad x = r\boldsymbol{\theta},\quad r = \left| x \right| > 0 $$

이 표현에서 $\boldsymbol{\theta}$는 각도가 아님에 주의하자. 데카르트 좌표 $\theta_{1}, \dots, \theta_{n}$은 다음의 식으로 표현된다.

$$ \cos \varphi_{k-1} = \dfrac{\theta_{k}}{r_{k}}, \quad \sin \varphi_{k-1} = \frac{r_{k-1}}{r_{k-2}},\quad r_{k} = \left( \theta_{1}^{2}, \dots, \theta_{k}^{2} \right)^{1/2} $$

또한 $\mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\}$에서 $\mathbb{R}_{+} \times S^{n-1}$로의 사상 $x \mapsto (r, \boldsymbol{\theta})$는 연속이며, 전단사이다.

성질

다음의 적분이 성립한다. $f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$에 대해서,

$$ \int_{\mathbb{R}^{x}} f(x) dx = \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{0}^{\infty} f(r \boldsymbol{\theta}) r ^{n-1}dr d\boldsymbol{\theta} $$