n차원 극좌표

n차원 극좌표

n-Dimensional Polar Coordinate

정의1

점 $x \in \mathbb{R}^{n}$의 데카르트 좌표를 $x_{1}, \dots, x_{n}$이라고 하자. 그러면 이 점의 극좌표polar coordinates $r, \varphi_{1}, \dots, \varphi_{n-1}$와의 관계는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} x_{1} =&\ r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} \\ x_{2} =&\ r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} \\ x_{3} =&\ r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \cdots \cos \varphi_{n-2} \\ x_{4} =&\ r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \cdots \sin \varphi_{n-2} \\ \vdots&\ \\ x_{n-1} =&\ r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \\ x_{n} =&\ r \cos \varphi_{1} \\ \end{align*} $$

여기서

$$ 0 \le \varphi_{i} \le \pi \ (1 \le i \le n-2), \quad 0 \le \varphi_{n-1} \le 2\pi $$

설명

polar coordanates라고도 하고, spherical coordinates라고도 한다.

$x \ne 0$에 대해서 다음을 얻는다.

$$ \theta = \dfrac{x}{\left| x \right|} \in S^{n-1}, \quad x = r\theta,\quad r = \left| x \right| > 0 $$

이 표현에서 $\theta$는 각도가 아님에 주의하자. 데카르트 좌표 $\theta_{1}, \dots, \theta_{n}$은 다음의 식으로 표현된다.

$$ \cos \varphi_{k-1} = \dfrac{\theta_{k}}{r_{k}}, \quad \sin \varphi_{k-1} = \frac{r_{k-1}}{r_{k-2}},\quad r_{k} = \left( \theta_{1}^{2}, \dots, \theta_{k}^{2} \right)^{1/2} $$

또한 $\mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\}$에서 $\mathbb{R}_{+} \times S^{n-1}$로의 사상 $x \mapsto (r,\theta)$는 연속이며, 전단사이다.

성질

다음의 적분이 성립한다. $f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$에 대해서,

$$ \int_{\mathbb{R}^{x}} f(x) dx = \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{0}^{\infty} f(r \theta) r ^{n-1}dr d\theta $$


  1. Boris Rubin, Introduction to Radon Transforms With Elements of Fractional Calculus and Harmonic Analysis (2015), p26-27 ↩︎

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