상호 인턱덕스

상호 인턱덕스

설명1

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위 그림처럼 고정된 두 도선 고리가 있다고 하자. 고리 1에 정상전류 $I_1$을 흐르게 하면 자기장 $\mathbf{B}_1$이 생긴다.(앙페르 법칙 ) $\mathbf{B}_1$의 자기장선 중 일부는 고리 2를 지나가게 된다. 그럼 고리 2를 지나가는 $\mathbf{B}_1$의 선속 $\Phi_2=\mathbf{B}_1 \cdot d\mathbf{a}_2$를 말할 수 있다. 이 때 $d\mathbf{a}_2$는 고리 2의 면적벡터로 크기는 고리 2가 감싸는 면적과 같고, 방향은 고리 2가 감싸는 면과 수직한 방향과 같다. 고리 1의 모양이 원형이나 사각형 등의 간단한 모양이 아니라면 실제로 $\mathbf{B}_1$을 계산하는 것은 힘들고 따라서 선속 $\Phi_2$를 계산하는 것 또한 힘들다. 하지만 비오-사바르 법칙 을 살펴봄으로써 중요한 힌트를 얻을 수 있다. $$ \mathbf{B}_1 =\dfrac{ \mu_0}{4\pi} I_1 \oint \dfrac{d \mathbf{l} \times \hat{ \boldsymbol{\eta} }}{\eta ^2} $$ 바로 자기장 $\mathbf{B}_1$이 고리 1에 흐르는 전류 $I_1$에 비례한다는 사실이다. $\Phi_2=\mathbf{B}_1 \cdot d\mathbf{a}_2$이므로 $\Phi_2$ 또한 $I_1$에 비례한다.따라서 그 비례상수를 $M_{21}$이라 두면 아래와 같이 쓸 수 있다. $$ \Phi_2=M_{21}I_1 $$ 이 비례상수를 상호 인덕턴스$(\mathrm{Mutual\ inductance})$ 라 한다.벡터 전위스토크스 정리 를 쓰면 상호 인덕턴스를 간단하게 나타낼 수 있다. $$ \Phi_2 = \int \mathbf{B}_1 \cdot d \mathbf{a}_2 = \int(\nabla \times \mathbf{A}_1) \cdot d \mathbf{a}_2 = \oint \mathbf{A}_1 \cdot d \mathbf{l}_2 $$ $\displaystyle \mathbf{A}_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi} \oint \dfrac{d \mathbf{l}_1}{\eta}$이므로 $$ \Phi_2 =\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi} \oint \left( \oint \dfrac{ d\mathbf{l}_1}{\eta} \right)\cdot d \mathbf{l}_2
$$ 따라서 상호 인던턱스는 $$ M_{21}=\dfrac{\mu_0 }{4 \pi} \oint \left( \oint \dfrac{ d\mathbf{l}_1 \cdot d \mathbf{l}_2 }{\eta} \right) $$ 위 식을 노이만 공식$(\mathrm{Neumann\ formula})$라 부른다.노이만 공식을 잘 살펴보면 전류 $I_1$에 대한 항이 없고, 두 고리의 선적분이 내적으로 연결돼있다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음의 두 중요한 사실을 얻을 수 있다.39.JPG

  1. 상호 인던턱스 $M_{21}$은 순전히 기하학적인 양으로 고리에 흐르는 전류와는 무관하다. 두 고리 사이의 거리나 크기, 모양 등으로 결정되는 양이다.2. $d \mathbf{l}_1 \cdot d\mathbf{l}_2=d\mathbf{l}_2 \cdot d\mathbf{l}_1$이므로 $M_{21}=M_{12}=M$이다.

위의 사실들을 종합하여 설명하면,“두 고리의 모양, 위치에 관계없이 전류 $I$가 고리 1에 흐를 때 생기는 자기장 $\mathbf{B}_1$이 고리 2를 통과하는 선속은, 같은 전류 $I$가 고리 2에 흐를 때 생기는 자기장 $\mathbf{B}_2$가 고리 1을 통과하는 선속과 같다.”


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p344 ↩︎

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