수리통계학에서의 다변량 확률 분포

수리통계학에서의 다변량 확률 분포

정의 1

  1. 표본 공간 $\Omega$ 에서 정의된 $n$ 개의 확률 변수 $X_{i}$ 에 대해 $X = (X_{1} , \cdots , X_{n})$ 를 $n$차원 랜덤 벡터Random Vector라고 한다. $X$ 의 치역 $X(\Omega)$ 를 공간이라고도 부른다.
  2. 다음을 만족하는 함수 $F_{X} : \mathbb{R}^{n} \to [0,1]$ 을 $X$ 의 조인트Joint 누적 분포 함수라고 한다. $$ F_{X}\left( x_{1}, \cdots , x_{n} \right) := P \left[ X_{1} \le x_{1} , \cdots , X_{n} \le x_{n} \right] $$
  3. 어떤 $h_{1} , \cdots , h_{n} >0$ 들에 대해 다음을 만족하는 함수 $M_{X}$ 가 존재하면 $X$ 의 적률 생성 함수라고 한다. $$ M_{X} (t_{1}, \cdots , t_{n}) := E \left[ e^{\sum_{k=1}^{n} t_{k} X_{k} } \right] = E \left[ \prod_{k=1}^{n} e^{t_{k} X_{k}} \right] \\ |t_{1}| < h_{1} , \cdots , |t_{n} | < h_{n} $$

이산

연속


설명

다변량 확률 분포는 일변량 확률 분포를 다차원으로 일반화 시킨 것이며, 변수가 여러개라는 점에서 본질적으로 큰 차이가 있으나 적어도 학부 수준의 수리통계학에서는 미적분학적인 스킬로도 충분히 다를 수 있다. 어떤 점이 다른지 살펴보자:


  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p75~84. ↩︎

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