두 레비-치비타 심볼의 곱

두 레비-치비타 심볼의 곱

multiplication of two levi civita symbol

공식

(a) 한 개의 인덱스가 같은 경우: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$

(b) 두 개의 인덱스가 같은 경우: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ljk}=2\delta_{il}$

(c) 세 개의 인덱스가 같은 경우: $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6$

설명

글 전반에서 아인슈타인 표기법을 사용하고 있으니 헷갈리지 말자.

증명

(a)

레비-치비타 심볼은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} \epsilon _{ ijk } &= \left| \begin{matrix} \delta _{ i1 } & \delta _{ i2 } & \delta _{ i3 } \\ \delta _{ j1 } & \delta _{ j2 } & \delta _{ j3 } \\ \delta _{ k1 } & \delta _{ k2 } & \delta _{ k3 } \end{matrix} \right| \\ &= \delta _{ i1 }\delta _{ j2 }\delta _{ k3 }-\delta _{ i1 }\delta _{ j3 }\delta _{ k2 }+\delta _{ i2 }\delta _{ j3 }\delta _{ k1 }-\delta _{ i2 }\delta _{ j1 }\delta _{ k3 }+\delta _{ i3 }\delta _{ j1 }\delta _{ k2 }-\delta _{ i3 }\delta _{ j2 }\delta _{ k1 } \end{align*} $$

그러면 행렬 $A$에 대해서 $\det A=\det A^{T}$가 성립하므로 다음과 같다.

$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \left| \begin{matrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} \delta_{k1 } & \delta_{k2} & \delta_{k3} \\ \delta_{l1} & \delta_{l2} & \delta _{l3} \\ \delta_{m1} & \delta_{m2} & \delta_{m3} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} { \delta_{ i1 } }&{ \delta_{ i2 } }&{ \delta_{ i3 } } \\ { \delta_{ j1 } }&{ \delta_{ j2 } }&{ \delta_{ j3 } } \\ { \delta_{ k1 } }&{ \delta _{ k2 } }&{ \delta_{ k3 } } \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} \delta_{k1} & \delta_{l1} & \delta_{m1} \\ \delta_{k2} & \delta_{l2} & \delta_{m2} \\ \delta_{k3} & \delta_{l3} & \delta_{m3} \end{matrix} \right| $$

또한 행렬 $A, B$에 대해서 $(\det A)(\det B)=\det (AB)$이므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} &= \left| \begin{matrix} { \delta_{ i1 } }&{ \delta_{ i2 } }&{ \delta_{ i3 } } \\ { \delta_{ j1 } }&{ \delta_{ j2 } }&{ \delta_{ j3 } } \\ { \delta_{ k1 } }&{ \delta _{ k2 } }&{ \delta_{ k3 } } \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} \delta_{k1} & \delta_{l1} & \delta_{m1} \\ \delta_{k2} & \delta_{l2} & \delta_{m2} \\ \delta_{k3} & \delta_{l3} & \delta_{m3} \end{matrix} \right| \\ &= \left| \begin{matrix} { \delta _{ i1 }\delta _{ k1 }+\delta _{ i2 }\delta _{ k2 }+\delta _{ i3 }\delta _{ k3 } }&{\delta _{ i1 }\delta _{ l1 }+\delta _{ i2 }\delta _{ l2 }+\delta _{ i3 }\delta _{ l3 }}&{ \delta _{ i1 }\delta _{ m1 }+\delta _{ i2 }\delta _{ m2 }+\delta _{ i3 }\delta _{ m3 } } \\ { \delta _{ j1 }\delta _{ k1 }+\delta _{ j2 }\delta _{ k2 }+\delta _{ j3 }\delta _{ k3 } }&{ \delta _{ j1 }\delta _{ l1 }+\delta _{ j2 }\delta _{ l2 }+\delta _{ j3 }\delta _{ l3 } }&{ \delta _{ j1 }\delta _{ m1 }+\delta _{ j2 }\delta _{ m2 }+\delta _{ j3 }\delta _{ m3 } } \\ { \delta _{ k1 }\delta _{ k1 }+\delta _{ k2 }\delta _{ k2 }+\delta _{ k3 }\delta _{ k3 } }&{ \delta _{ k1 }\delta _{ l1 }+\delta _{ k2 }\delta _{ l2 }+\delta _{ k3 }\delta _{ l3 } }&{ \delta _{ k1 }\delta _{ m1 }+\delta _{ k2 }\delta _{ m2 }+\delta _{ k3 }\delta _{ m3 } } \end{matrix} \right| \end{align*} $$

위 행렬의 $1$행 $1$열 성분을 보자. 아인슈타인 노테이션에 의해 다음이 성립한다.

$$ { \delta _{ i1 }\delta _{ k1 }+\delta _{ i2 }\delta _{ k2 }+\delta _{ i3 }\delta _{ k3 } } = \sum_{j=1}^{3} \delta_{ij}\delta_{jk} = \delta_{ij}\delta_{jk} = \delta_{ik} $$

마지막 등호는 $\delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il}$이므로 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \left| \begin{matrix} \delta_{ik} & \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{jk} & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ \delta_{kk} & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{matrix} \right| $$

이 때 $k$는 $i, j, l, m$ 모두와 다른 값이어야 한다. $i, j$ 중에서 하나라도 $k$와 같은 값이 있으면 $\epsilon_{ijk}=0$이므로 $\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}=0$이라서 아무 의미가 없다. $l,\ m$에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \left| \begin{matrix} \delta_{ik} & \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{jk} & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ \delta_{kk} & \delta_{kl} & \delta_{km} \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} 0 & \delta_{il} & \delta_{im} \\ 0 & \delta_{jl} & \delta_{jm} \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right| = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} $$


이때 $\epsilon_{ijk}=\epsilon_{jki}=\epsilon_{kij}$이므로 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\epsilon_{kij}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$이다. 따라서 다음의 식도 같은 표현이다. $$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} $$

이를 이용하면 아래의 방법으로 공식을 쉽게 외울 수 있다.

1.PNG

(b)

(a) 에서 $j=m$인 경우이다. 따라서 다음과 같다.

$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ljk} = \delta_{il}\delta_{jj} - \delta_{ij}\delta_{jl} $$

이때 $\delta_{jj}=3$, $\delta_{ij}\delta_{jl}=\delta_{il}$가 성립하므로 다음과 같다.

$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ljk} = \delta_{il}\delta_{jj} - \delta_{ij}\delta_{jl} = 3\delta_{il} - \delta_{il} = 2\delta_{il} $$

(c)

(b) 와 같은 방법으로 증명한다. (a) 에서 $i$=$l$, $j$=$m$인 경우이므로 다음과 같다.

$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=\delta_{ii}\delta_{jj}-\delta_{ij}\delta_{ji} $$

이 때 $\epsilon_{ijk}$가 0이 아닌 값을 가지려면 $i \ne j$ 여야하므로 다음이 성립한다. $$ \delta_{ii}\delta_{jj} = 6 \quad (i \ne j) $$

또한 $i \ne j$이어야 하므로 $\delta_{ij}=\delta_{ji}=0$이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6 $$

혹은 단순하게 $0$이 아닌 모든 항을 풀어서 쓰면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &=\sum \limits _{i=1} ^{3}\sum \limits _{j=1} ^{3}\sum \limits _{k=1} ^{1} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \\ &=\epsilon_{123}\epsilon_{123}+\epsilon_{231}\epsilon_{231}+\epsilon_{312}\epsilon_{312}+\epsilon_{132}\epsilon_{132}+\epsilon_{213}\epsilon_{213}+\epsilon_{321}\epsilon_{321} \\ &=6 \end{align*} $$

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