복소해석학에서의 다가함수와 분기

복소해석학에서의 다가함수와 분기

정의 1

  1. $X = \mathbb{C}$ 의 원소를 $Y$ 의 여러 값으로 대응시키는 사상을 다가함수Multifunction라 한다.
  2. 오픈셋 $A \subset \mathbb{C}$ 에서 정의된 다가함수 $g$ 에 대해 $\alpha \in \mathbb{C}$ 을 감싸고 $A$ 안에 놓이는 폐곡선 $\mathscr{C}$ 를 따라 $z-\alpha$ 가 $2\pi$ 만큼 계속해서 바뀌었을 때 값 $g(z)$ 이 원래의 값이 아니게끔 하도록하는 $\mathscr{C}$ 가 적어도 하나 존재하면 $\alpha$ 를 분기점Branch Point라 한다.
  3. $\alpha$ 의 모든 네이버후드가 또 다른 분기점을 포함하지 않으며 분기점 $\alpha$ 에서 시작하는 단 하나의 선분을 분기선Branch Cut이라 한다.
  4. $g$ 로부터 만들어져서 분기선을 제외한 모든 곳에서 하나의 값만을 갖게 하는 어떤 함수든 $g$ 의 분기Branch라 한다.

설명

다가함수는 복수의 값을 갖는 함수로써, 엄밀하게 따졌을 때 함수는 아니다.

예시

예로써 복소해석학에서는 로그함수를 $\text{Log} z := \log_{\mathbb{R}} |z| + i \arg z$ 로 두고 $0 \in \mathbb{C}$ 를 제외한 모든 점에서 정의한다. 여기서 $\log_{\mathbb{R}}$ 는 우리가 원래 알던 로그함수고, 편각Argument $\arg$ 은 양의 실수축을 기준으로 시계반대 방향으로의 회전각을 말한다. 이러한 정의에 따라 함수 $\text{Log}$ 는 다가함수 $\log$ 의 분기Branch가 된다.

이때 $\log$ 는 어떤 $- \pi \le \theta_{0} <\pi$ 과 정수 $ n$ 에 대해 $\arg z = 2 n \pi + \theta_{0}$ 이므로 주어진 $z$ 에 대해 무한히 많은 함숫값을 가지게 된다. 여기서 허수부의 값은 반직선 $\left\{ b + i0: b \in \left( -\infty , 0 \right] \right\}$ 을 기준으로 $2 \pi$ 마다 바뀌게 되는데, 이러한 축을 분기선Branch Cut이라 부른다. 보통은 이러한 성질이 필요가 없기 때문에 $n=0$ 으로 제한하며 이를 주분기Principal Branch라고 부른다. 이와 같은 경우 어규먼트는 $-\pi < \theta \le \pi$ 으로 제한되고, 기존의 표현에서 대소문자를 구분하여 $\arg$ 와 같이 나타낸다.

한편 이러한 로그의 정의를 잘 살펴보면 이렇게 값이 $2 \pi$ 단위로 뛰는 선이 꼭 $\left( -\infty , 0 \right]$ 일 필요가 없음을 알 수 있다. 다르게 정의할 필요가 있거나, 혹은 그냥 내가 그렇게 하고 싶다면 어느 방향으로든 새롭게 정의해도 상관 없다. 그러나 그러한 어떤 가능성을 생각하든 원점 $O$ 만큼은 반드시 포함해야함을 알 수 있다. 이렇게 모든 분기선이 공유하는 점을 분기점Branch Point라고 부른다.

특이점의 분류가 그러했듯 애초에 함수가 되지도 못하는 걸 억지로 정의하고 말장난을 친다는 생각이 들 수 있다. 하지만 예시로 든 함수부터가 로그인만큼 이러한 다가함수를 다루는 것은 상당히 진지한 문제고, 복소평면을 다루는 이상 분기에 대한 개념이 확실하지 않으면 알것 같은데 정확히 모르는 지옥이 이어진다. 가능한 한 두리뭉실 넘어가지 말고 한 번에 제대로 공부하도록 하자.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p33, 41. ↩︎

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