추상대수학에서의 여러 사상들

추상대수학에서의 여러 사상들

-morphisms in Abstract Algebra

정의

$\left< G , \ast\ \right> , \left< G' , *' \right>$ 에 대해 $\phi : G \to G'$ 이라고 하자.

  1. $\forall x ,y \in G $, $\phi (x \ast\ y) = \phi (x ) *' \phi ( y)$ 이면 $\phi$ 를 준동형사상Homomorphism이라 한다.
  2. 준동형사상 $\phi$ 가 단사면 $\phi$ 를 단형사상Monomorphism이라 하고 $G \hookrightarrow G'$ 라 쓴다.
  3. 준동형사상 $\phi$ 가 전사면 $\phi$ 를 전형사상Epimorphism이라 하고 $G \twoheadrightarrow G'$ 라 쓴다.
  4. 준동형사상 $\phi$ 가 전단사면 $\phi$ 를 동형사상Isomorphism이라 하고 $G \simeq G'$ 라 쓴다.
  5. 준동형사상 $\phi$ 에 대해 $G = G'$ 면 $\phi$ 를 준자기동형사상Endomorphism이라 한다.
  6. 동형사상 $\phi$ 에 대해 $G = G'$ 면 $\phi$ 를 자기동형사상Automorphism이라 한다.

설명

갑자기 쏟아지는 정의들에 머리는 아프겠지만 곧 익숙해질테니 어렵게 생각하지 말고 당당히 맞서자.

단형사상과 전형사상은 임의로 번역한 것으로, 일본 수학계에서도 그냥 모노사モノ射 혹은 에피사エピ射 로 쓰고 있다. 추상대수학 외에서는 이들 자체가 각각 단사와 전사 그 자체로 쓰이지만 추상대수학에선 보통 준동형사상이 포함된다.

동형사상은 그 성질이 당장에 유익함을 알수있는만큼 조건이 까다로운 것이 단점이다. 이론을 공부함에 있어 그러한 조건을 줄일 수 있다면, 즉 단형사상이나 전형사상로 충분하다면 더 좋을 것이다.

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