단조 수열, 단조수렴정리

단조 수열, 단조수렴정리

정의1

실수들의 수열 $\left\{ s_{n} \right\}$에 대해서

단조증가하거나 단조감소하는 수열을 단조롭다고 한다.

설명

수열은 자연수를 정의역으로 갖는 함수로 정의되므로 단조증가수열이라는 말은 정의역이 자연수인 단조증가함수라는 말과 같다.

수렴하는 수열은 유계이지만, 유계인 수열의 수렴성은 보장되지 않는다. 단조수열이라는 특수한 경우에서는 유계인 것과 수렴하는 것이 동치가 된다.

정리

실수열 $\left\{ s_{n} \right\}$이 단조라고 하자. 그러면 $\left\{ s_{n} \right\}$가 수렴하는 것과 유계인 것은 동치이다.

증명


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p55 ↩︎

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