단조 수열, 단조수렴정리

단조 수열, 단조수렴정리

monotonic sequence

정의1

실수들의 수열 $\left\{ s_{n} \right\}$에 대해서

  • $s_{n} \le s_{n+1}$가 성립하면 단조증가수열이라고 한다.
  • $s_{n} \ge s_{n+1}$가 성립하면 단조감소수열이라고 한다.

단조증가하거나 단조감소하는 수열을 단조롭다고 한다.

설명

수열은 자연수를 정의역으로 갖는 함수로 정의되므로 단조증가수열이라는 말은 정의역이 자연수인 단조증가함수라는 말과 같다.

수렴하는 수열은 유계이지만, 유계인 수열의 수렴성은 보장되지 않는다. 단조수열이라는 특수한 경우에서는 유계인 것과 수렴하는 것이 동치가 된다.

정리

실수열 $\left\{ s_{n} \right\}$이 단조라고 하자. 그러면 $\left\{ s_{n} \right\}$가 수렴하는 것과 유계인 것은 동치이다.

증명

  • 수렴하면 유계이다

  • 유계이면 수렴한다

    $\left\{ s_{n} \right\}$이 단조증가이고 유계라고 가정하자. 단조감소의 경우에도 증명 방법은 같다. $E$를 $\left\{ s_{n} \right\}$의 치역이라고 하자. 그러면 $E$의 상한 $s$가 존재한다.

    $$ s_{n} \le s,\quad \forall n\in \mathbb{N} $$

    그러면 모든 $\epsilon > 0$에 대해서 다음의 식을 만족하는 정수 $N$이 존재한다.

    $$ s - \epsilon < S_{N} \le s $$

    만약 그렇지 않으면 $s-\epsilon = s$이 $E$의 상한이라는 의미인데 $s-\epsilon \ne s$이므로 모순이기 때문이다. $\left\{ s_{n} \right\}$가 단조증가수열이므로 모든 $n\le N$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ s - \epsilon < s_{n} \le s $$

    이는 다음을 의미하므로 $\left\{ s_{n} \right\}$가 수렴한다는 말이다.

    $$ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\ \mathrm{s.t}\ n\ge N \implies |s_{n} - s|<\varepsilon $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p55 ↩︎

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