구의 관성모멘트

구의 관성모멘트

moment of inertia of sphere

공식

반지름이 $a$, 질량이 $m$인 구의 관성모멘트는 다음과 같다.

$$ I=\frac{2}{5}ma^{2} $$

유도

구의 관성모멘트를 구하는 아이디어는 다른 강체들과는 살짝 다르다. 핵심적인 아이디어는 구분구적법과 비슷하게 구를 무수히 많은 원판의 합이라고 생각하는 것이다.

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저 무수히 많은 원판의 관성모멘트를 다 더하면 구의 관성모멘트가 된다. 회전축과 수직한 원판의 관성모멘트는 $I = \dfrac{1}{2}mr^{2}$ ($r=$반지름, $m=$질량)이므로 구의 관성모멘트는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ I_{\text{sphere}}=\int dI=\int \frac{1}{2}r^{2}dm $$

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이제 계산하면 끝이다.

$$ \begin{align*} I_{z} =&\ \int \frac{1}{2}r^{2}dm=\int_{-a}^{a} \frac{1}{2}x^{2} \rho\pi x^{2} dz \\ =&\ \int_{-a}^{a} \frac{1}{2}\rho\pi x^{4} dz \\ =&\ \frac{1}{2} \rho \pi\int_{-a}^{a} (a^{2}-z^{2})^{2}dz \\ =&\ \frac{1}{2}\rho\pi \int_{-a}^{a} (a^{4}-2a^{2}z^{2}+z^{4})dz \\ =&\ \frac{1}{2} \rho \pi \left[ a^{4}z-\frac{2}{3}a^{2}z^{3}+\frac{1}{5}z^{5} \right]_{-a}^{a} \\ =&\ \frac{1}{2} \rho \pi \left(2a^{5}-\frac{4}{3}a^{5}+\frac{2}{5}a^{5} \right) \\ =&\ \rho \pi \left(a^{5}-\frac{2}{3}a^{5}+\frac{1}{5}a^{5} \right) \\ =&\ \rho \pi \frac{8}{15}a^{5} \end{align*} $$

그리고 구의 질량은 $\displaystyle m=\rho \frac{4}{3}\pi a^{3}$이므로 대입하면 다음과 같다.

$$ I_{z} = \left( \frac{8}{15}a^{5} \right) \left( \frac{3}{4}\frac{1}{\pi a^{3}}m \right) = \frac{2}{5}ma^{2} $$

또한 구는 모든 방향에서 대칭이기 때문에 아래의 결과를 얻는다.

$$ I_{x}=I_{y}=I_{z} $$

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