원판, 원통의 관성모멘트

원판, 원통의 관성모멘트

moment of inertia of circular disc cylinder

공식

반지름이 $a$, 질량이 $m$인 원판의 관성모멘트

  • 회전축이 원판에 수직한 경우에는 $I=\dfrac{1}{2}ma^2$이다.

  • 회전축이 원판과 수평인 경우에는 $I=\dfrac{1}{4}ma^2$이다.

유도

회전축이 원판의 중심을 지나고, 원판에 수직하는 경우

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$\rho$를 단위면적당 질량이라고 하자. 그러면 원판의 질량은 $m=\rho \pi r^2$이다. 따라서 다음과 같다.

$$ dm=\rho \pi 2r dr $$

관성모멘트를 구하는 식은 $\displaystyle I=\int r^2dm$이므로 다음이 성립한다.

$$ I=\int_0^a\rho \pi 2 r^3 dr=\rho \pi 2 \frac{1}{4}a^4=\frac{1}{2}\rho \pi a^4 $$

이 때 $\displaystyle \rho=\frac{m}{\pi a^2}$이므로

$$ I=\frac{1}{2}ma^2 $$

회전축이 원판의 중심을 지나고, 원판에 나란한 경우

5.jpg

수직축 정리에 의해서 $I_{z}=I_{x}+I_{y}$이고, $x$축을 회전축으로 할 때나 $y$축을 회전축으로 할 때나 같은 모양이므로 $I_{x}=I_{y}$이다. 따라서

$$ \begin{align*} && 2I_{x} &= I_{z}=\frac{1}{2}ma^2 \\ \implies && I_{x} &= \frac{1}{4}ma^2 \end{align*} $$

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