몰리파이어

몰리파이어

정의1

함수 $\eta \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$을 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{equation} \eta (x) := \begin{cases} C \exp \left( \dfrac{1}{|x|^2-1} \right) & |x|<1 \\ 0 & |x| \ge 1\end{cases} \label{1} \end{equation} $$

이러한 $\eta$를 몰리파이어mollifier라 한다. 특히 $C>0$가 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{n}} \eta dx=1$을 만족시키는 상수일 때 $\eta$를 스탠다드 몰리파이어standard mollifier라 한다.

$\epsilon>0$에 대해서 $\eta_{\epsilon}$을 다음과 같이 정의하자.

$$ \eta_\epsilon (x) := \dfrac{1}{\epsilon^n}\eta\left( \dfrac{x}{\epsilon} \right) $$

$\eta$가 스탠다드 몰리파이어이면 $\int_{\mathbb{R^n}} \eta_{\epsilon} dx=1$이 성립한다. 이는 변수 변환으로 쉽게 확인할 수 있다.

설명

몰리파이어는 매끄럽지 않은 함수를 합성곱을 통해 매끄럽게 만들어주는 역할을 한다. mollify는 ‘달래다’라는 의미를 가지고 있는데, 이는 $\eta$가 미분 불가능한 함수를 미분 가능하게 근사시켜주는 것을 mollify라고 표현한 것이다.

한편 몰리파이어의 역할을 생각해보면 반드시 $\eqref{def}$와 같은 꼴이어야할 필요는 없다.

일반화

$\varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$가 아래의 세 조건을 만족하면, $\varphi$를 몰리파이어라고 한다.

다음의 조건을 만족하면 파지티브 몰리파이어positive mollifier라고 한다.

다음의 조건을 만족하면 시메트릭 몰리파이어symmetric mollifier라고 한다.

한편 $\eqref{1}$로 정의한 $\eta$가 실제로 스무스 함수인지는 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명

우선 $f$와 $g$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} f(s) &:= \begin{cases} C \exp\left( \dfrac{1}{s-1} \right) & s<1 \\ 0 & s \ge 1 \end{cases} \\g(x) &:= |x|^2={x_{1}}^2+{x_{2}}^2+\cdots+{x_n}^2 , \quad x\in \mathbb{R}^{n} \end{align*} $$

그리고 $f\in C^\infty$와 $g\in C^\infty$임을 보여서 최종적으로 $\eta=f \circ g \in C^\infty$임을 보이려고 한다.


따라서 Part 1., Part 2. 에 의해 다음이 성립한다.

$$ \eta = f \circ g \in C^\infty ( \mathbb{R^n} ) $$


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p713-714 ↩︎

댓글