거리공간의 정의

거리공간의 정의

Metric Space

정의

집합 $X$ 에 대해 함수 $d : X \times X \to [0, \infty)$가 $x,y,z \in X$ 에 대해 아래의 조건들을 만족시킬 때, $d$를 거리metric라고 하고 $\left( X, d\right)$를 거리공간metric space이라고 한다. 거리가 자명한 경우에는 거리공간을 간단히 $X$라고 표기하기도 한다.

  • $d(x,y)=0 \iff x = y$

  • $d(x,y) = d(y,x)$

  • $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

설명

선형대수학에서 놈의 개념을 체득했다면 알겠지만 크기 혹은 거리가 꼭 직관적으로만 정의될 필요는 없다. 아래의 세가지 예시들은 특히 $\mathbb{R}^{n}$ 상에서 정의되며 언급한 것과 같이 선형대수학에서 보아왔던 놈들과 크게 다르지 않다. 이는 놈 $\left\| \cdot \right\|$ 이 어떻게 정의되든 항상 거리 $d ( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) := \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|$ 를 정의할 수 있으므로 어떤 종류의 놈이 있다면 그에 해당하는 거리도 존재할 수밖에 없기 때문이다.

예시

$\mathbf{x} = (x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n} )$ 그리고 $\mathbf{y} = (y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{n} ) $ 라고 하자.

  • 유클리드 거리: $d(\mathbf{x} , \mathbf{y}) = \sqrt{ \sum \limits_{i = 1}^{n} (x_{i} - y_{i} )^2 }$

  • 택시캡 거리: $d’(\mathbf{x} , \mathbf{y}) = \sum \limits_{i = 1}^{n} | x_{i} - y_{i} |$

  • 맥시멈 거리: $d’’(\mathbf{x} , \mathbf{y}) = \max \left\{ | x_{i} - y_{i} | \right\}_{i=1}^{n}$

실제 기초적인 해석학에서는 $\mathbb{R}^{1}$ 을 주로 다루고, 어지간해서는 유클리드 거리만 쓰인다고 보아도 무방하다. 해석학에 한정 짓자면 거리공간 자체에 대해 자세하게 공부할 필요까지는 없고, 실수집합 $\mathbb{R}$ 을 거리공간 $\left( \mathbb{R} , d \right)$로써 받아들이는 것으로 충분하다. 아래의 두가지 예시들은 유클리드 공간을 벗어난 거리의 개념이다.

  • 이산 거리:

    $$ d_{0} (x,y) = \delta_{xy} = \begin{cases}1, & \ x \ne y \\ 0, & \ x = y \end{cases} $$

    이산거리는 크로네커 델타를 이용한 것으로써, 오직 두 원소가 같냐 아니냐로만 따진다. 삼각부등식을 만족시키는가는 경우의 수를 나눠서 쉽게 증명이 가능하다.

  • 적분 거리:

    $$ \rho(f,g) = \int_{a}^{b} | f(x) - g(x) | dx $$

    적분거리는 연속함수의 집합 $C[a,b]$ 에서 정의할 수 있는 거리다. 두 함수의 그래프가 완전히 같으면 그 값은 $0$ 이 된다.

    20180114\_231847.png

    그림으로 표현하면 실선으로 둘러싸인 부분이 바로 $\rho(f,g)$가 된다. 위의 정의들을 잘 살펴보면 metric이란 전통적인 의미의 ‘거리’ 보다는 둘 사이의 ‘괴리’로써 이해하는게 더 적절함을 알 수 있다. 완전히 같은 것은 반드시 $0$ 이므로, ‘얼마나 더 무한대에 가까운가’ 보다는 ‘얼마나 $0$ 에서 더 먼가’ 가 중요한 것이다. 더욱 추상적인 사고를 위해 거리가 커질수록 ‘위치’가 멀어진다는 직관적인 생각에서 벗어나도록 하자.

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