거리공간의 정의

거리공간의 정의

정의

집합 $X$ 에 대해 함수 $d : X \times X \to [0, \infty)$가 $x,y,z \in X$ 에 대해 아래의 조건들을 만족시킬 때, $d$를 거리metric라고 하고 $\left( X, d\right)$를 거리공간metric space이라고 한다. 거리가 자명한 경우에는 거리공간을 간단히 $X$라고 표기하기도 한다.

설명

선형대수학에서 놈의 개념을 체득했다면 알겠지만 크기 혹은 거리가 꼭 직관적으로만 정의될 필요는 없다. 아래의 세가지 예시들은 특히 $\mathbb{R}^{n}$ 상에서 정의되며 언급한 것과 같이 선형대수학에서 보아왔던 놈들과 크게 다르지 않다. 이는 놈 $\left\| \cdot \right\|$ 이 어떻게 정의되든 항상 거리 $d ( \mathbf{x} , \mathbf{y} ) := \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|$ 를 정의할 수 있으므로 어떤 종류의 놈이 있다면 그에 해당하는 거리도 존재할 수밖에 없기 때문이다.

예시

$\mathbf{x} = (x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n} )$ 그리고 $\mathbf{y} = (y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{n} ) $ 라고 하자.

실제 기초적인 해석학에서는 $\mathbb{R}^{1}$ 을 주로 다루고, 어지간해서는 유클리드 거리만 쓰인다고 보아도 무방하다. 해석학에 한정 짓자면 거리공간 자체에 대해 자세하게 공부할 필요까지는 없고, 실수집합 $\mathbb{R}$ 을 거리공간 $\left( \mathbb{R} , d \right)$로써 받아들이는 것으로 충분하다. 아래의 두가지 예시들은 유클리드 공간을 벗어난 거리의 개념이다.

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