기하 분포의 무기억성

기하 분포의 무기억성

Memoryless property of geometric Distribution

정리

$X \sim \text{Geo} ( m )$ 이면 $P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) = P(X \ge t)$

설명

기하 분포는 어떤 사건이 일어나는 횟수에 관심을 두는 이산확률분포다. 지수 분포의 이산화라는 센스에서 생각해보면 이러한 기하분포의 무기억성은 당연하다고 할 수 있겠다.

여기서 무기억성Memoryless Property이란 지나온 시간에 의해 앞으로 일어날 일이 영향을 받지 않는 성질이다. 예를 들어 30대의 남성이나 50대의 남성이 건강에 대한 모든 조건이 같다면 둘 중 누가 먼저 죽을지는 알 수 없다. 20년을 더 살았다고 한들 오늘 건강에 대한 조건이 모두 같다면 죽음의 타이머도 오늘부터 다시 시작되는 것이다. 더 극단적으로는 오늘내일 태어날 신생아나 오늘내일하는 어르신이나 가는데엔 순서가 없다고 할 수 있다. 현실적으로 이게 맞지 않는 이유는 ‘건강에 대한 모든 조건이 같다’는 가정이 틀렸기 때문이다.

반대로 어떤 집단에 속한 구성원 모두가 같은 가정을 만족시킴을 보일 수 있다면 이들의 수명을 예측할 수 있을 것이다. 이들의 수명이 끝날 때 일정한 보상금을 약속하고 기대수명보다 짧은 시간동안 더 많은 돈을 받아내는 것이 바로 보험이다.

증명

$$ \begin{align*} P( X \ge a) =& 1- \sum_{i=0}^{a-1} m ( 1- m)^{i} \\ =& 1 - m{{1- (1-m)^a } \over {1 - (1-m) }} \\ =& (1-m)^{a} \end{align*} $$ 이므로 $$ \begin{align*} P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) =& {{P(X \ge s+ t)} \over {P(X \ge s)}} \\ =& { {(1-m)^{s+t}} \over {(1-m)^{s}} } \\ =& (1-m)^{t} \\ =& P(X \ge t) \end{align*} $$

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