지수 분포의 무기억성

지수 분포의 무기억성

Memoryless property of exponential Distribution

성질

$X \sim \exp{ ( \lambda ) }$ 이면 $P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) = P(X \ge t)$

설명

지수 분포는 어떤 사건이 일어나는 기간에 관심을 두는 연속확률분포다. 깊게 생각하지 않아도 수명예측이나 보험 등에 응용될 수 있음을 짐작할 수 있다.

여기서 무기억성Memoryless Property이란 지나온 시간에 의해 앞으로 일어날 일이 영향을 받지 않는 성질이다. 예를 들어 30대의 남성이나 50대의 남성이 건강에 대한 모든 조건이 같다면 둘 중 누가 먼저 죽을지는 알 수 없다. 20년을 더 살았다고 한들 오늘 건강에 대한 조건이 모두 같다면 죽음의 타이머도 오늘부터 다시 시작되는 것이다. 더 극단적으로는 오늘내일 태어날 신생아나 오늘내일하는 어르신이나 가는데엔 순서가 없다고 할 수 있다. 현실적으로 이게 맞지 않는 이유는 ‘건강에 대한 모든 조건이 같다’는 가정이 틀렸기 때문이다.

반대로 어떤 집단에 속한 구성원 모두가 같은 가정을 만족시킴을 보일 수 있다면 이들의 수명을 예측할 수 있을 것이다. 이들의 수명이 끝날 때 일정한 보상금을 약속하고 기대수명보다 짧은 시간동안 더 많은 돈을 받아내는 것이 바로 보험이다.

유도

$P(0 \le X \le a) = 1 - e^{-\lambda a}$ 이므로 $P(X \ge a) = e^{-\lambda a}$ 이고 $$ \begin{align*} P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) =& {{P(X \ge s+ t)} \over {P(X \ge s)}} \\ =& {{e^{-\lambda (s+ t)}} \over {e^{-\lambda s}}} \\ =& e^{ - \lambda t} \\ =& P(X \ge t) \end{align*} $$

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