멜린 변환

멜린 변환

정의

다음과 같이 정의되는 적분변환 $\mathcal{M}$을 멜린 변환Mellin transform이라 한다.

$$ \mathcal{M}[f(x)] (s) = \mathcal{M}f(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}f(x)dx = \phi(s) $$

이 때 $s \in \mathbb{C}$이다. 멜린 역변환Mellin inverse transform은 다음과 같다.

$$ \mathcal{M}^{-1}\phi (x) = f(x) = \dfrac{1}{2\pi i }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s}\phi(s) ds $$

설명

적분 변환의 일종이다. 멜린 역변환은 상수 $c$의 값에 무관하다. 멜린 변환은 컴퓨터 공학, 정수론, 수리통계학, 양자역학, 토모그래피 등에서 사용되며 라플라스 변환, 푸리에 변환, 감마 함수 등과도 관련이 있다.

푸리에 변환과의 관계

푸리에 변환을 적절히 변형하면 멜린 변환이 된다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F}[f(e^x)] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty}f(e^x)e^{-i\xi x} dx \\ &= \int_{0}^{\infty} f(e^x)(e^x)^{-i\xi}\dfrac{1}{e^x}d(e^x) \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{-i\xi}\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^s\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{s-1}dt \\ &= \mathcal{M}[f(x)] (s) \end{align*} $$

두번째 등호는 $\frac{d e^x}{dx}=e^x \implies dx=\frac{1}{e^x}de^x$이므로 성립한다. 네번째 등호는 $s=-i \xi$로 두면 성립한다.

감마함수와의 관계

$f(x)=e^{-x}$라고 하자. 그러면 $f$의 멜린 변환은 감마함수와 같다.

$$ \mathcal{M}f(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-x}dx=\Gamma(s) $$

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