동차 미분방정식에서 동차의 의미

동차 미분방정식에서 동차의 의미

설명

$$ a_n(x)\dfrac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \cdots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx}+a_0(x)y=f(x) $$

미분방정식이 위와 같을 때 $f(x)=0$이면 동차homogeneous $f(x) \ne 0$ 이면 비동차non homogenous, inhomogenous라고 한다. 간단한 예로 아래와 같은 2계 선형 미분방정식을 생각해보자.

$$ ay^{\prime \prime}+by^\prime +cy=g(t) $$

여기서 $g(t)$가 $0$이면 동차, $0$이 아니면 비동차이다. 동차라는 말을 풀어보면 차수가 같다는 말이고 동차방정식은 차수가 같은 방정식이라는 뜻이다. 여기에서 차수가 같다는 말은, 종속변수와 종속변수의 도함수들의 차수가 모두 같다는 뜻으로 받아들이면 된다. 아래의 식을 보자.

$$ a\left( y^{\prime \prime} \right)^{\color{blue}1}+b\left( y^\prime \right)^{\color{blue}1} + c\left( y \right)^{\color{blue}1} =0 =0 \left( y \right)^{\color{red}1} $$

$$ a\left( y^{\prime \prime} \right)^{\color{blue}1}+b\left( y^\prime \right)^{\color{blue}1} + c\left( y \right)^{\color{blue}1} =g(t) =g(t) \left( y \right)^{\color{red}0} $$

첫번째 식을 살펴보면 $g(t)=0$일 때 모든 항이 종속변수와 종속변수의 도함수의 차수가 $1$인 식으로 표현할 수 있다. 즉 모든 항의 차수가 같아진다. 그래서 동차라고 부른다. 두번째 식을 보면 $0$이 아닌 $g(t)$ 때문에 $g(t)$항만 차수가 $0$이다. 즉 차수가 다른 항이 하나 생긴다. 그래서 비동차라고 부른다.

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