함수값의 평균

함수값의 평균

mean value of function

정의

구간 $[a,\ b]$에서 $f(x)$의 평균값은 구간에 대해서 적분한 다음 구간의 길이로 나눠준 것과 같다.

$$ \dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx $$

유도

구간 $[a,\ b]$의 분할을 $P$라고 하자.

$$ P=\left\{ x_{1},\ x_{2},\ \cdots ,\ x_n \right\} $$

이때, $a=x_{1} < x_{2} < \cdots < x_n=b$이고 각 점의 사이의 거리는 같다. 그리고 $\Delta x=x_{i+1}-x_i$. $f(x_i)$의 합을 $n$으로 나눠서 $f(x)$의 평균값을 어림하려고 한다.

$$ \dfrac{ f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_n) } {n} $$

이는 $n$이 커질수록 함숫값들의 평균에 점점 가까워질 것이다. 분자와 분모에 $\Delta x$를 곱하면 아래와 같다.

$$ \dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_n) \Big)\Delta x} {n \Delta x} $$

$n\Delta x=b-a$이므로 다음과 같다.

$$ \dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_n) \Big)\Delta x} {b-a} $$

$n \rightarrow \infty$이고 $\Delta x \rightarrow 0$인 극한을 취하면 분자는 $\int_a^bf(x)dx$와 같다.

$$ \dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx $$

예제

삼각함수의 한 주기 평균은 $0$이다.

  • 코사인 함수

    $\cos (kx)$의 한주기 평균을 구해보면 다음과 같다. $$ \int_0^\frac{2\pi}{k} \cos(kx)dx = \dfrac{1}{k}\left[ \sin(kx)\right]_0^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{1}{k}(\sin 2\pi -\sin 0 ) =0 $$

  • 사인 함수

    $\sin (kx)$의 한주기 평균을 구해보면 다음과 같다. $$ \int_0^\frac{2\pi}{k} \sin(kx)dx = \dfrac{-1}{k}\left[ \cos(kx)\right]_0^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{-1}{k}(\cos 2\pi -\cos 0 ) =0 $$

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