라플라스 방정식에 대한 평균값 공식

라플라스 방정식에 대한 평균값 공식

정리1

열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$가 주어졌다고 하자. 그리고 $u \in C^2(\Omega)$가 라플라스 방정식을 만족한다고 하자. 그러면 각각의 열린 볼 $B(x,r)\subset \subset \Omega$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} u(x) &= \dfrac{1}{n \alpha(n)r^{n-1}} \int _{\partial B(x,r)} udS =: -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} udS \\ &= \dfrac{1}{\alpha(n)r^n}\int_{B(x,r)}udy =: -\!\!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy \end{align*} $$

역도 성립한다.

$u \in C^2(\Omega)$가 각각의 열린 볼 $B(x,r) \subset \Omega$에서 아래와 같이 평균값 성질을 만족한다고 하자.

$$ u(x)=-\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} u dS $$

그러면 $u$는 하모닉이다.

증명


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p25-26 ↩︎

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