라플라스 방정식에 대한 평균값 공식

라플라스 방정식에 대한 평균값 공식

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정리1

열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$가 주어졌다고 하자. 그리고 $u \in C^2(\Omega)$가 라플라스 방정식을 만족한다고 하자. 그러면 각각의 열린 볼 $B(x,r)\subset \subset \Omega$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} u(x) &= \dfrac{1}{n \alpha(n)r^{n-1}} \int _{\partial B(x,r)} udS =: -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} udS \\ &= \dfrac{1}{\alpha(n)r^n}\int_{B(x,r)}udy =: -\!\!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy \end{align*} $$

  • $V \subset \bar V \subset U$이고 $\bar V$가 팩트 일 때 $V\subset \subset U$라고 표기한다.
  • $\bar V$는 $V$의 폐포
  • $B(x,r)=\left\{ y \in \mathbb{R}^n \ \big|\ |y-x|<r \right\}$
  • $\partial B(x,r)=\left\{ y \in \mathbb{R}^n \ \big|\ |y-x|=r \right\}$=$B(x,r)$의 경계
  • $- \!\!\!\!\! \int _{\partial B(x,r)} udS =$열린 볼 $B(x,r)$의 경계에서 $u$의 평균값
  • $- \!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy=$열린 볼 $B(x,r)$에서 $u$의 평균값

역도 성립한다.

$u \in C^2(\Omega)$가 각각의 열린 볼 $B(x,r) \subset \Omega$에서 아래와 같이 평균값 성질을 만족한다고 하자.

$$ u(x)=-\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} u dS $$

그러면 $u$는 하모닉이다.

증명

  • Part 1. $\int \!\!\!\!\!-_{\partial B(x,r)}u(y)dS(y)=u(x)$

    고정된 점 $x \in \Omega$가 있다. 그리고 $d_{x}$를 다음과 같이 두자.

    $$ d_{x} = \mathrm{dist}(x, \partial \Omega) := \inf \limits_{y \in \partial \Omega} |x-y| >0 $$

    즉 $d_{x}$는 $\Omega$ 내부의 점 $x$에서부터 $\Omega$의 경계까지의 최단거리를 뜻한다. 그리고 $\varphi(r)$를 다음과 같이 정의하자.

    $$ \begin{align*} \varphi(r) &:= \dfrac{1}{n \alpha(n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} u(y) dS(y) \quad \mathrm{for}\ 0< r <d_{x} \\ &= -\!\!\!\!\!\!\int_{\partial B(x,r)} u(y)S(y) \end{align*} $$

    여기서 $\varphi(r)$이 $r$에 무관하고, 그 값은 $u(x)$임을 보이는 것이 목적이다. 따라서 우선 $\dfrac{d \phi}{dr}=0$임을 보여야한다. 원하는 결과를 얻기 위해 $y=x+rz$로 변수변환을 해주자. 그러면 $y \in \partial B(x,r)$, $z \in \partial B(0,1)$이고 $dS(y)=r^{n-1}dS(z)$이므로 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align} \varphi(r) &= \dfrac{1}{n \alpha(n) r^{n-1} } \int_{\partial B(x,r)} u(y)dS(y) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{n \alpha(n) r^{n-1} } \int_{\partial B(0,1)} u(x+rz)r^{n-1}dS(z) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{n \alpha(n) } \int_{\partial B(0,1)} u(x+rz)dS(z) \label{eq1} \end{align} $$

    $f(r)=g(x+rz)$라고 하면, 전미분은 다음과 같다.

    $$ df=\dfrac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_1)}d(x_{1}+rz_1)+\cdots + \dfrac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_1)}d(x_{1}+rz_1) $$

    그러면 $\dfrac{d f}{d r}$은 다음과 같다.

    $$ \begin{align*} f^{\prime}(r) &= \dfrac{df(r)}{dr} \\ &= \frac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_1)}\dfrac{ d(x_{1}+rz_1)}{dr}+\cdots + \frac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_1)}\dfrac{ d(x_{1}+rz_1) }{dr} \\ &= \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_1)}z_1+\cdots + \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_1)}z_n \\ &= \left( \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_1)}, \cdots , \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_1)}\right) \cdot(z_1,\cdots,z_n) \\ &= Dg(x+rz)\cdot z \end{align*} $$

    이를 $\eqref{eq1}$에 적용하면 다음을 얻는다.

    $$ \begin{align*} \varphi’(r) &= \dfrac{1}{n\alpha(n)} \int_{\partial B(0,1) } Du(x+rz)\cdot zdS(z) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha(n)} \int_{\partial B(x,r)} Du(y) \cdot \dfrac{y-x}{r} \dfrac{1}{r^{n-1}}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} Du(y)\cdot \dfrac{y-x}{r}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} Du(y)\cdot \boldsymbol{\nu} dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} \dfrac{ \partial u(y)}{\partial \nu}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n \alpha(n) r^{n-1} } \int_{B(x,r)} \Delta u dy \\ &= 0 \end{align*} $$

    여기서 $\boldsymbol{\nu}$는 외향단위법선벡터이다. 4번째, 5번째 등호는 외향단위법선벡터의 정의에 의해 성립한다. $\dfrac{y-x}{r}$는 $\partial B(x,r)$에서 바깥을 향하고 그 크기가 $1$이므로 $\dfrac{y-x}{r}=\boldsymbol{\nu}$이다. 6번째 등호는 그린의 공식(i)에 의해 성립한다. 마지막 등호는 $u$가 $\Delta u=0$을 만족한다는 가정에 의해 성립한다.

    이제 $\varphi’(r)=0$이므로 $\phi(r)$는 $0<r<d_{x}$인 $r$에 대해 상수이다. 따라서 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align*} -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} u(y)dS(y) &= \varphi(r) = \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} \varphi (t) \\ &= \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{n\alpha(n) r^{n-1}}\int _{\partial B(x,t)} u(y)dS(y) \\ &= \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,t)} u(y)dS(y)
    \\ &= u(x) \end{align*} $$

    $t \rightarrow 0^+$라면 볼의 직경이 점점 줄어드는 것이므로 그 평균값은 $u(x)$가 된다.

  • Part 2. $\int\!\!\!\!\!\!- _{B(x,r)} udx=u(x)$

    $x, d_{x}$가 **Part 1.*에서와 같다고 하자. 그러면 $0 < r < d_{x}$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align*} \int_{B(x,r)} u(y)dy &= \int_0^r \left( \int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds \\ &= \int_0^r n\alpha(n)s^{n-1}\left( \dfrac{1}{n\alpha(n)s^{n-1}}\int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds \\ &= \int_0^r n\alpha(n)s^{n-1}\left( -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds
    \\ &= \int_0^rn\alpha(n)s^{n-1}u(x) ds
    \\ &= n\alpha(n) u(x) \int_0^r s^{n-1} ds \\ &= n\alpha(n) u(x) \dfrac{r^n}{n} \\ &= \alpha(n)r^n u(x) \end{align*} $$

    따라서 우변에 $u$만 남기고 정리하면 다음과 같다. $$ -\!\!\!\!\!\! \int_{B(x,r)} udy = \dfrac{1}{\alpha(n) r^n} \int_{B(x,r)} udy = u(x) $$


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p25-26 ↩︎

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