t-분포의 평균과 분산

t-분포의 평균과 분산

Mean and Variance of t Distribution

공식

$X \sim t (\nu)$ 이면 $$ E(X) = 0 \qquad , \nu >1 \\ \text{Var}(X) = {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \qquad , \nu > 2 $$

유도

전략: t-분포 역시 카이제곱분포와 비슷하게 적률 공식이 알려져 있어, 이 공식들을 이용한다.

t-분포의 적률: 두 확률 변수 $W,V$ 가 독립이고 $W \sim N(0,1)$, $V \sim \chi^{2} (r)$ 이라 하자. $k < r$ 이면 $\displaystyle T := { {W} \over {\sqrt{V/r} } }$ 는 $k$차 적률이 존재하고 $$ E T^{k} = E W^{k} {{ 2^{-k/2} \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} - {{ k } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} \right) r^{-k/2} }} $$


평균

$r = \nu$ 라고 하면 $1 = k < r = \nu$ 이므로 $ET^{1}$ 이 존재하고, $W$ 가 표준정규분포 $N(0,1)$ 을 따르므로 $EW^{1} = 0$ 이다. 따라서 $ET^{1} = 0$ 이다.

분산

$k=2$ 면 $W$ 가 표준정규분포를 따르므로 $EW^{2} = 1 + 0^{2}$ 이므로 $$ \begin{align*} ET^{2} =& EW^{2} {{ 2^{-2/2} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} - {{ 2 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) \nu^{-2/2} }} \\ =& 1 {{ \nu } \over { 2 }} {{ \Gamma \left( {{ \nu - 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \\ =& {{ \nu } \over { 2 }} {{ 1 } \over { {{ \nu } \over { 2 }} - 1 }} \\ =& {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \end{align*} $$

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