F-분포의 평균과 분산

F-분포의 평균과 분산

공식

$X \sim F ( r_{1} , r_{2})$ 면 $$ E(X) = {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \qquad , r_{2} > 2 \\ \text{Var}(X) = {{ 2 d_{2}^{2} (d_{1} + d_{2} - 2) } \over { d_{1} (d_{2} -2)^{2} (d_{2} - 4) }} \qquad , r_{2} > 4 $$

유도

전략: F-분포 역시 카이제곱분포와 비슷하게 적률 공식이 알려져 있어, 이 공식들을 이용한다.

F-분포의 적률: $X \sim F(r_{1} , r_{2})$ 이고 $\displaystyle X = {{ X_{1} } \over { X_{2} }}$ 와 같이 나타낼 수 있다고 하자. $X_{1}$ 과 $X_{2}$ 가 각각 자유도 $d_{1}, d_{2}$ 인 카이제곱 분포를 따르고 $d_{2} > 2k$ 면 $k$차 적률이 존재하고 $$ EX^{k} = \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{k} E X_{1}^{k} E X_{2}^{-k} $$

카이제곱 분포의 적률: $X \sim \chi^{2} (r)$ 이라고 하자. $k > - r/ 2$ 이면 $k$차 적률이 존재하고 $$ E X^{k} = {{ 2^{k} \Gamma (r/2 + k) } \over { \Gamma (r/2) }} $$

평균

$r_{2} > 2$ 라고 가정하면 $-k = -1 > -r_{2} / 2$ 이므로 $EX_{2}^{-1}$ 이 존재한다.

$k=1$ 이면 적률 공식들에 따라 $$ \begin{align*} EX^{1} =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{1} E X_{1}^{1} E X_{2}^{-1} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{1} }} {{ 2^{1} \Gamma (r_{1}/2 + 1) } \over { \Gamma (r_{1}/2) }} {{ 2^{-1} \Gamma (r_{2}/2 -1 ) } \over { \Gamma (r_{2}/2) }} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{1} }} 2r_{1} {{ 1 } \over { r_{2}/2 - 1 }} \\ =& {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \end{align*} $$

분산

$r_{2} > 4$ 라고 가정하면 $-k = -2 > -r_{2} /2$ 이므로 $E X_{2}^{-2}$ 이 존재한다.

$k=2$ 이면 적률 공식들에 따라 $$ \begin{align*} EX^{2} =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} E X_{1}^{2} E X_{2}^{-2} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ 2^{2} \Gamma (r_{1}/2 + 2) } \over { \Gamma (r_{1}/2) }} {{ 2^{-2} \Gamma (r_{2}/2 -2 ) } \over { \Gamma (r_{2}/2) }} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ (r_{1}/2+1)r_{1}/2 } \over { (r_{2}/2-1) (r_{2}/2-2) }} \\ =& \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} }} \right)^{2} {{ (r_{1}+2)r_{1} } \over { (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} \\ =& {{ r_{2}^{2} (r_{1}+2) } \over { r_{1} (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} \end{align*} $$ 따라서 $$ \begin{align*} \text{Var}(X) =& {{ r_{2}^{2} (r_{1}+2) } \over { r_{1} (r_{2}-2) (r_{2}-4) }} - \left[ {{ r_{2} } \over { r_{2} - 2 }} \right]^{2} \\ =& {{ r_{2}^{2} } \over { r_{1} (r_{2} -2)^{2} (r_{2} - 4) }} \left[ (r_{1} + 2)(r_{2} - 2) - r_{1}(r_{2} - 4) \right] \\ =& {{ 2 r_{2}^{2} (r_{1} + r_{2} - 2) } \over { r_{1} (r_{2} -2)^{2} (r_{2} - 4) }} \end{align*} $$

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