지수 분포의 평균과 분산

지수 분포의 평균과 분산

공식

$X \sim \exp ( \lambda)$ 면 $$ E(X) = {{ 1 } \over { \lambda }} \\ \text{Var} (X) = {{ 1 } \over { \lambda^{2} }} $$

증명

전략: 지수 분포의 정의에서 직접 연역한다.

지수 분포의 정의: $\lambda > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $\exp ( \lambda)$ 를 지수 분포라고 한다. $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \qquad , x \ge 0 $$

평균

$$ \displaystyle E(X)=\int _{ 0 }^{ \infty }{ x\cdot \lambda { e } ^{ -\lambda x } }dx $$ $\lambda x=t$ 이라고 두면 $\lambda dx=dt$ 이므로 $$ \begin{align*} \int _{ 0 }^{ \infty }{ t { e }^{ -t } }\frac { 1 }{ \lambda }dt =& \frac { 1 }{ \lambda } { \left\lceil - { e }^{ -t }(t+1) \right\rceil } _{ 0 }^{ \infty } \\ =& \frac { 1 }{ \lambda }(0-(-1)) \\ =& \frac { 1 }{ \lambda } \end{align*} $$

분산

$$ \begin{align*} E({ X }^{ 2 }) =& \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 } }\lambda { e }^{ -\lambda x }dx \\ =& \frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } }\int _{ 0 }^{ \infty }{ { t } ^{ 2 } } { e }^{ -t }dt \\ =& \frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } { \left\lceil - { e }^{ -t }( { t }^{ 2 }+2t+2) \right\rceil }_{ 0 }^{ \infty } \\ =& \frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } }(0-(-2)) \\ =& \frac { 2 }{ { \lambda }^{ 2 } } \end{align*} $$ 따라서 $$ \displaystyle \text{Var} (X)=\frac { 2 }{ { \lambda }^{ 2 } }- { \left( \frac { 1 }{ \lambda } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } $$

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