카이제곱 분포의 평균과 분산

카이제곱 분포의 평균과 분산

Mean and Variance of chi square Distribution

공식

$X \sim \chi^{2} (r)$ 이면 $$ E(X) = r \\ \text{Var} (X) = 2r $$

유도

전략: 카이제곱분포는 고맙게도 적률 공식이 알려져있다.

카이제곱 분포의 적률: $X \sim \chi^{2} (r)$ 이라고 하자. $k > - r/ 2$ 이면 $k$차 적률이 존재하고 $$ E X^{k} = {{ 2^{k} \Gamma (r/2 + k) } \over { \Gamma (r/2) }} $$

평균

$$ EX^{1} = {{ 2^{1} \Gamma (r/2 + 1) } \over { \Gamma (r/2) }} = 2 \cdot {{ r } \over { 2 }} = r $$

분산

$$ EX^{2} = {{ 2^{2} \Gamma (r/2 + 2) } \over { \Gamma (r/2) }} = 4 \cdot {{ r + 2 } \over { 2 }} \cdot {{ r } \over { 2 }} = r^{2} + 2r $$ 따라서 $$ \text{Var}(X) = \left( r^{2} + 2r \right) - r^{2} = 2r $$

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