맥스웰 분포

맥스웰 분포

정리1

기체분자의 속력을 나타내는 확률변수 $V$ 는 확률밀도함수가 아래와 같은 맥스웰 분포Maxwell distribution를 따른다.

$$ f(v) = \dfrac{4}{\sqrt{ \pi}} \left( \dfrac{m}{2 k_{B} T} \right)^{3/2} v^{2} e^{-mv^2 / 2k_{B}T } $$

설명

맥스웰 분포는 볼츠만 분포에서 유도되어 맥스웰-볼츠만 속력 분포라고도 불린다. 통계역학이라는 이름이 무색해질만큼 통계학에서 볼 수 없는 분포로, 굳이 엮자면 정규분포의 왜도나 첨도와 관계있다.

이러한 맥스웰 분포의 유도를 통해 우리는 기체분자의 운동을 확률적으로 파악하고 통계적으로 이해한다. 분자 하나하나의 운동을 미시적으로 확인할 수는 없지만 거시적으로는 맞아떨어지는 것이다. 유도를 위해서 분자의 크기는 분자 사이의 거리보다 충분히 작고, 분자끼리 작용하는 힘은 무시할 수 있다고 가정한다.

유도

Part 1. 속도의 분포

그러면 $(v_{x}, v_{y}, v_{z})$와 $(v_{x} + dv_{x}, v_{y} + dv_{y}, v_{z} + dv_{z})$ 사이의 속도를 가지는 기체 분자의 비율은 다음과 같다.

$$ g(v_{x}) d v_{x} g(v_{y}) d v_{y} g(v_{z}) d v_{z} \propto e^{- {{m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})} \over {2 k_{B} T}} } d v_{x} d v_{y} d v_{z} = e^{- {{m v^2} \over {2 k_{B} T}} } d v_{x} d v_{y} d v_{z} $$


  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 열 물리학(Concepts in Thermal Physics, 이재우 역) (2nd Edition, 2014), p63-65 ↩︎

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