다양체란

다양체란

Manifold in Topology

정의 1

위상공간 $X$가 아래의 세 조건을 만족시킬 때 $X$를 $n$차원 매니폴드Manifold라 한다.

$n$차원 매니폴드 $X$ 가 다음 두 가지 유형의 점들을 가질 때 $X$ 는 바운더리를 가진다고 한다.

  • (1) 인테리어 포인트: 모든 $x \in X^{\circ}$ 의 네이버후드가 $\mathbb{R}^{n}$ 와 위상동형이다.
  • (2) 바운더리 포인트: 모든 $x \in \partial X$ 의 네이버후드가 $U^{n} := \left\{ \mathbb{x} \ | \ \mathbb{x} \in (\mathbb{R}^{+})^{n} \right\}$ 와 위상동형이다.

설명

조건 (iii)와 국소적으로 유클리드 공간이다는 말은 서로 같다. 즉, 매니폴드는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상공간을 말한다. 특히 $1$차원 매니폴드를 커브Curve, $2$차원 매니폴드를 서피스Surface라 한다.

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위 예시에서 첫번째와 두번째는 $1$ 차원 매니폴드지만, 세번째는 꼬인 부분이 있어 $1$ 차원 매니폴드가 아니다.

특히 바운더리를 갖는 $n$ 차원 매니폴드 $X$ 와 바운더리를 가지지 않는 $m$ 차원 매니폴드 $Y$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \partial (X \times Y) = X \times \partial Y $$


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p225. ↩︎

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