자기 쌍극자가 만드는 자기장

자기 쌍극자가 만드는 자기장


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596C5A923.jpg 원점에 놓인, 방향이 $\hat{\mathbf{z}}$인 자기 쌍극자가 만드는 자기장은 다음과 같다.

$ \displaystyle \vec{B}_{\text{dip}}(r,\theta)=\frac{\mu_0 }{4 \pi }\frac{m}{r^3}(2\cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)$

놀랍게도 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 같은 모양이다.(쌍극자가 만드는 전기장)마찬가지로 좌표계와 무관하게 사용할 수 있는 공식을 유도해보자.$\hat{\mathbf{r}}= \cos\phi \sin\theta \hat{x} + \sin\phi \sin\theta\hat{y} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} $$ \hat{\theta} = \cos\phi \cos\theta \hat{x} + \sin\phi \cos\theta\hat{y} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} $(참고 : 구면좌표계와 직교좌표계의 관계)$ \begin{align*} 2\cos\theta \hat r + \sin \theta \hat \theta &= 2 \cos\phi \sin\theta cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 2 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 2 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} \\ && + \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \sin\theta \hat{\mathbf{y}} -\sin^2\theta \hat{\mathbf{z}} \\ &=3\cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 3 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 3 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\hat{\mathbf{z}} \\ &= 3 \cos\theta (\cos\phi \sin\theta \hat{x} + \sin\phi \sin\theta\hat{y} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}}) - \hat{\mathbf{z}} \\ &= 3 (\hat m \cdot \hat r) \hat r - \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$ (\cos\theta = \hat m \cdot \hat r) $$ \begin{align*} \therefore \ \vec{B}_{\text{dip}}(r,\theta) &=\frac{\mu_0 }{4 \pi }\frac{m}{r^3}(2\cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta) \\ &= \frac{\mu_0 }{4 \pi }\frac{m}{r^3}[3 (\hat m \cdot \hat r) \hat r - \hat{\mathbf{z}}] \\ &= \frac{\mu_0 }{4 \pi }\frac{1}{r^3}[3 (\vec m \cdot \hat r) \hat r - m \hat{\mathbf{z}}] \\ &= \frac{\mu_0}{4 \pi }\frac{1}{r^3}[3 (\vec m \cdot \hat r) \hat r - \vec m] \end{align*}$

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