프레넬 사인 적분의 매클로린 전개

프레넬 사인 적분의 매클로린 전개

공식

$$ S(x) = \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \sin (w^2) dw = \sqrt{{2} \over {\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} {{(-1)^{n}} \over {(2n+1)! (4n+3)}} x^{4n+3} $$

설명

프레넬은 광학을 연구했던 물리학자로써 그의 이름이 붙은 결과들을 보면 대개는 삼각함수가 연관되어있다. 아무래도 삼각함수가 파동함수와 깊은 연관이 있기 때문에 없는 공식은 만들어내서라도 공부를 해야했을 것이다.

이러한 연구들이 광학에 어찌 기여했는지는 몰라도 당장 삼각함수에 대한 미적분에 상당한 기여를 남긴 것은 확실하다.

증명

사인함수의 매클로린 전개는 $\displaystyle \sin x = x - {{x^{3}} \over {3!}} + {{x^{5}} \over {5!}} + {{x^{7}} \over {7!}} + \cdots$이다. 따라서

$$ \sin x^2 = x^2 - {{x^{6}} \over {3!}} + {{x^{10}} \over {5!}} + {{x^{14}} \over {7!}} + \cdots $$

그러므로

$$ \begin{align*} S(x) =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \sin (w^2) dw \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \left( w^2 - {{w^{6}} \over {3!}} + {{w^{10}} \over {5!}} + {{w^{14}} \over {7!}} + \cdots \right) dw \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \left( {{1}\over{3}} {{x^{3}} \over {1!}} - {{1}\over{7}}{{x^{7}} \over {3!}} + {{1}\over{11}}{{x^{11}} \over {5!}} + {{1}\over{15}}{{x^{15}} \over {7!}} + \cdots \right) \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} {{(-1)^{n}} \over {(2n+1)! (4n+3)}} x^{4n+3} \end{align*} $$

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