루신의 정리 📂측도론

루신의 정리

Lusin's Theorem

정리 1 2

[측도 공간] $(X, \mathcal{E}, \mu)$가 주어졌다고 하자. $f$를 [가측함수]라 하자. $\mu(A) \lt \infty$에 대해서 $f(x) = 0 \text{ for } x \in A^{c}$이면, 다음을 만족하는 $g \in$ [$C_{c}(\mathbb{R}^{n})$]이 존재한다.

$$ \sup\limits_{x\in \mathbb{R}^{n}} g(x) \le \sup\limits_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x) \qquad \mu \left( \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : f(x) \ne g(x) \right\} \right) $$

설명

이를 루신의 정리Lusin’s theorem라 한다.

조건에서

  • $\mu(A) \lt \infty$에 대해서 $f(x) = 0 \text{ for } x \in A^{c}$ 는 "$f$가 유계인 서포트

증명3

https://sci-hub.st/https://doi.org/10.1080/00029890.1981.11995222


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p15 ↩︎

  2. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p64 ↩︎

  3. Feldman, Marcus B. A proof of Lusin’s theorem The American Mathematical Monthly 88.3 (1981): 191-192. ↩︎

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