충분통계량이 포함된 우도비검정

충분통계량이 포함된 우도비검정

LRT based on Sufficient Statistic

정리

가설검정: $$ \begin{align*} H_{0} :& \theta \in \Theta_{0} \\ H_{1} :& \theta \in \Theta_{0}^{c} \end{align*} $$

우도비검정통계량: $$ \lambda \left( \mathbf{x} \right) := {{ \sup_{\Theta_{0}} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) }} $$

만약 $T \left( \mathbf{X} \right)$ 가 모수 $\theta$ 의 충분통계량이고

  • $\lambda^{\ast} (t)$ 가 $T$ 에 종속된 우도비검정통계량
  • $\lambda (\mathbf{x})$ 가 $\mathbf{X}$ 에 종속된 우도비검정통계량

이라고 하면, 모든 표본공간의 모든 $\mathbf{x} \in \Omega$ 에 대해 $\lambda^{\ast} \left( T \left( \mathbf{x} \right) \right) = \lambda \left( \mathbf{x} \right)$ 다.

설명

다시금 충분통계량이 왜 충분Sufficient이라 명명되었는지 확인할 수 있는 정리다. 이에 따라 우도비검정을 할 때 충분통계량이 있다면 굳이 다른 가능성을 생각할 필요 없이 $\lambda^{\ast}$ 로 시작하면 충분하다.

증명 1

$$ f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right) = g \left( t \mid \theta \right) h \left( \mathbf{x} \right) $$

네이만 인수분해 정리에 따라 $\mathbf{x}$ 의 pdf 혹은 pmf $f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right)$ 는 $T$ 의 pdf 혹은 pmf $g \left( t \mid \theta \right)$ 와 $\theta$ 에 종속되지 않은 $h \left( \mathbf{x} \right)$ 에 대해 위와 같이 나타낼 수 있다. 따라서 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} \lambda \left( \mathbf{x} \right) =& {{ \sup_{\Theta_{0}} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} L \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) }} \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right) } \over { \sup_{\Theta} f \left( \mathbf{x} \mid \theta \right) }} \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) h \left( \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) h \left( \mathbf{x} \right) }} & \because T \text{ is sufficient} \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) } \over { \sup_{\Theta} g \left( T \left( \mathbf{x} \right) \mid \theta \right) }} & \because h \text{ doesn’t depend on } \theta \\ =& {{ \sup_{\Theta_{0}} L^{\ast} \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) } \over { \sup_{\Theta} L^{\ast} \left( \theta \mid \mathbf{x} \right) }} & \because g \text{ is the pdf or pmf of } T \\ =& \lambda^{\ast} \left( T \left( \mathbf{x} \right) \right) \end{align*} $$


  1. Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition): p377. ↩︎

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