로렌츠 변환으로 인한 특수상대성이론의 특징: 길이 수축

로렌츠 변환으로 인한 특수상대성이론의 특징: 길이 수축

로렌츠 변환의 특징

특수상대성이론에서 두 좌표계 사이의 변환은 고전적인 변환과 다르다. ‘빛의 속도는 어느 관찰자에게나 똑같다’ 라는 점 때문이다. 이러한 조건을 고려하여 유도해낸 것이 로렌츠 변환이다. 로렌츠 변환으로 인해서 고전물리에서는 나타나지 않는 새로운 현상이 세가지 있다.

길이 수축

길이 수축은 사실 시간 지연과 별개의 것은 아니다. 본질적으로 같은 하나의 현상이다. 시간 지연은 일어 났지만 길이 수축은 일어나지 않는 그런 것은 불가능하다는 말이다. 아래의 그림을 보자

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$A$계와 $A$계를 기준으로 $x$방향으로 $v_{0}$의 속도로 등속운동하는 $A'$계가 있다고 하자. 그리고 $A$계에 길이가 $L$인 막대가 정지한 채로 있다고 하자.이 막대는 $A$계에서 봤을 때 아래 그림과 같다.

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그럼 이 막대를 $A'$계에서 바라보면 어떻게 될까? 막대 왼쪽 끝 부분의 좌표를 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y^{\prime} \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma_{0}ct \\ -\gamma_{0}\beta_{0}ct \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

그러면 $ct'= \gamma_{0}ct$이고, $x'=-\gamma_{0}\beta_{0}ct$이므로 연립해서 $x'=-\beta_{0}ct'$을 얻을 수 있다. 이제 막대 오른쪽 끝 부분의 좌표를 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y^{\prime} \\ z' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \displaystyle \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ L \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma_{0}ct-\gamma_{0}\beta_0L \\ -\gamma_{0}\beta_{0}ct+\gamma_0L \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

따라서

$$ ct'=\gamma_{0}ct-\gamma_{0}\beta_0L \implies \gamma_{0}ct=-ct'-\gamma_{0}\beta_0L $$

이고, $x'= -\gamma_{0}\beta_{0}ct+\gamma_0L$이므로 연립해서 다음을 얻는다.

$$ x'-\gamma_{0} L= \beta_{0} \left[ ct' + \gamma_{0}\beta_{0} L \right] $$

$x'$방향으로 $\gamma_0L$만큼 $ct'$방향으로 $-\gamma_{0}\beta_0L$만큼 평행이동한 꼴이다. 그림으로 살펴보면 아래와 같다.

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로렌츠 변환에 의해서 시간지연이 발생하고 그 시간 차이 때문에 관측되는 길이도 달라진다고 생각하면 이해가 쉬울 것이다.

마지막으로 길이 수축에 의해 변화된 길이는 원래의 길이와 어떤 관계가 있는지 살펴보자. 그림을 보면 $x'-\gamma_0L= -\beta_{0} \left[ ct'-(-\gamma_{0}\beta_0L) \right]$에서 $ct'=0$일 때 $x'=L'$이다. 바로 $ct'=0$을 대입해 계산해보면 다음과 같다.

$$ x'=\gamma_0L-\gamma_{0}{\beta_{0}}^2L=\gamma_{0}(1-{\beta_{0}}^2)L $$

이 때 다음의 식이 성립한다.

$$ \gamma_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{1-{\beta_{0}}^2}} \implies (1-{\beta_{0}}^2)=\dfrac{1}{{\gamma_{0}}^2} $$

따라서 다음과 같다.

$$ x'=\frac{1}{\gamma_{0}}L=L' $$

그런데 $L' = \dfrac{L}{\gamma_{0}}$이고 $\gamma_{0} \ge 1$이므로 항상 $L' \le L$이다. 길이 수축이 일어나는 이유가 여기에 있다. 수식을 보면 알겠지만 절대 늘어날 수는 없다. 시간 지연과 마찬가지로 $A'$계가 움직이지 않는 방향(수직한 방향)으로는 수축이 일어나지 않는다. 혹시 궁금하다면 좌표를 다르게 해놓고 직접 계산해보라. 항상 이동방향과 나란한 방향으로만 동시성이 깨지고 시간지연, 길이수축이 일어난다.

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