로케이션 패밀리

로케이션 패밀리

Location Family

정의

누적분포함수 $F$ 에 대해 $F_{\theta}$ 는 모든 $x$ 에 대해 $F_{\theta} (x) = F \left( x - \theta \right)$ 를 만족한다고 하자.

$\left\{ F_{\theta} : \theta \in \mathbb{R} \right\}$ 을 로케이션 패밀리Location Family라 한다.

예시 1

모수 $\theta$ 에 대한 랜덤샘플 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 을 생각해보면 누적분포함수 $F_{0} (x) = F (x - 0) = F(x)$ 를 가지는 랜덤샘플 $Z_{1} , \cdots , Z_{n}$ 에 대해서 $$ X_{i} = Z_{i} + \theta $$ 와 같이 나타낼 수 있다. 이 샘플의 통계량으로써 범위Range의 길이 $R = X_{n} - X_{(1)}$ 은 사실 $\theta$ 가 어찌되든 일정해야할 것이다. $\theta$ 는 단지 값의 크기를 증가시키거나 감소시킬 뿐, 그 산포도에는 영향을 미치지 않기 때문이다. 실제로 $R$ 의 조인트누적분포함수는 $$ \begin{align*} F_{R} \left( r ; \theta \right) =& P_{\theta} \left( R \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( X_{(n)} - X_{(1)} \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} X_{k} - \min_{k} X_{k} \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} \left( Z_{k} + \theta \right) - \min_{k} \left( Z_{k} + \theta \right) \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} \left( Z_{k} \right) + \theta - \min_{k} \left( Z_{k} \right) - \theta \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( Z_{(n)} - Z_{(1)} \le r \right) \end{align*} $$ 이다. 다시 말해, $R$ 은 $\theta$ 의 보조통계량이다.

같이보기


  1. Casella. (2001). statistiical Inference(2nd Edition): p283. ↩︎

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