미분기하에서 국소 등거리 사상

미분기하에서 국소 등거리 사상

Locally Isometry in Differential Geometry

정의1

곡면 사이에서 정의된 함수 $f : M \to N$가 주어졌다고 하자. 모든 점 $p \in M$에 대해서 축소사상 $f|_{U} : U \to V$가 등거리사상이 되도록 하는 열린 집합

$$ U, V \ \text{ such that }\ p \in U \subset M, V \subset N $$

가 존재하면, $M$과 $N$이 국소적으로 등거리locally isometric라고 한다. 또한 이러한 $f$를 국소 등거리 사상locally isometry라고 한다.

설명

등거리사상의 정의에서 전단사라는 조건은 강력한 조건이기 때문에 이러한 조건을 완화시킨 것이다.

당연하게도 $f$가 등거리 사상이면, 임의의 축소사상 $f|_{U} : U \to M$은 국소 등거리사상이다.

정리

다음의 두 명제는 동치이다.

  • 두 곡면 $M$과 $N$이 국소적으로 등거리이다.

  • 모든 $p \in M$에 대해서, 두 좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to M$, $\mathbf{y} : U \to N$의 제1 기본형식의 계수 $g_{ij}$가 같도록하는 열린집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$가 존재한다.

따라서 국소적으로 등거리인 두 곡면은 각 점에서 같은 내재적 성질을 갖는다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p147-148 ↩︎

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