국소 적분가능

국소 적분가능

locally integrable

국소 적분가능함은 다음과 같이 여러 스테이트로 표현할 수 있다. 다 같은 말이다.

정의1

함수 $u$가 열린집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$상의 거의 어디에서나 정의된 함수라고 하자. 모든 열린 집합 $U \Subset \Omega$에 대해서 $u \in L^1(U)$일 때 $u$를 $\Omega$위에서 국소 적분 가능 다고 말하며 다음과 같이 표기한다.

$$ u \in L_{\mathrm{loc} }^1(\Omega) $$

정의2

모든 유계인 가측 집합$K \subset \mathbb{R}^n$에 대해서,

$$ \int_K |f(x)|dx<\infty $$

를 만족하는 함수 $f\ :\ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$를 (르벡 측도에 대하여) 국소 적분가능하다 고 말하고, 국소 적분가능한 함수들의 집합을 $L^1_{\mathrm{loc}}$와 같이 표기한다.

정의3

함수 $f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$가 $\mathbb{R}^{n}$의 모든 컴팩트 부분 집합에서 적분 가능할 때, $f$가 국소 적분가능하다 고 한다.

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