리만(-스틸체스) 적분은 선형이다

리만(-스틸체스) 적분은 선형이다

Linearity of Riemann-Stieltjes Iintegral

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.

정리1

  1. $f$가 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분 가능하다고 하자. 그러면 상수 $c\in \mathbb{R}$에 대해서 $cf$도 $[a,b]$에서 적분 가능하고 그 값은 아래와 같다.

$$ \int_{a}^{b}cf d\alpha = c\int_{a}^{b}f d\alpha $$

  1. 두 함수 $f_{1}$, $f_{2}$가 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스)적분 가능하다고 하자. 그러면 $f_{1}+f_{2}$도 적분 가능하고 그 값은 아래와 같다.

$$ \int _{a} ^{b}(f_{1}+f_{2})d\alpha = \int _{a} ^{b} f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2} d\alpha $$


적분은 선형이라는 말이다.

$$ \int _{a} ^{b}(f_{1}+cf_{2})d\alpha = \int _{a} ^{b} f_{1}d\alpha + c\int_{a}^{b} f_{2} d\alpha $$

굳이 합과 상수배를 따로 적어놓은 이유는 증명을 따로 하기 때문이다.

보조 정리

$[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분 가능한 함수 $f$와 임의의 양수 $\varepsilon> 0$에 대해서 아래의 식을 만족하는 $[a,b]$의 분할 $P$가 존재한다.

$$ \begin{align} U(P,f,\alpha)<\int_{a}^{b}f d\alpha +\varepsilon \tag{L1} \label{L1} \\ \int_{a}^{b}f d\alpha -\varepsilon < L(P,f,\alpha) \tag{L2} \label{L2} \end{align} $$

$U$, $L$은 각각 리만(-스틸체스) 상합, 하합이다.

증명

$\eqref{L1}$

임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 적분가능할 필요충분조건에 의해 아래의 식을 만족하는 분할 $P$가 존재한다.

$$ U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$

이때 $L(P,f,\alpha) \le \displaystyle \int_{a}^{b}fd\alpha$이므로 다음이 성립한다.

$$ U(P,f,\alpha)-\int_{a}^{b}f d\alpha\le U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$

따라서 정리하면 다음과 같다.

$$ U(P,f,\alpha )< \int_{a}^{b}f d\alpha +\varepsilon $$

$\eqref{L2}$

증명 $\eqref{L1}$에서와 마찬가지로 다음을 만족하는 분할 $P$가 존재한다.

$$ U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$

$\displaystyle \int_{a}^{b}fd\alpha \le U(P,f,\alpha)$이므로 다음이 성립한다.

$$ \int_{a}^{b}f d\alpha-L(P,f,\alpha)\le U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$

따라서 정리하면 다음과 같다.

$$ \int_{a}^{b}f d\alpha -\varepsilon < L(P,f,\alpha) $$

증명

$f_{1}, f_{2}, f$가 적분가능할 때 $f_{1}+f_{2}, cf$도 적분가능함을 보인 뒤 그 값이 실제로 $\displaystyle \int f_{1} + \int f_{2}, c\int f$와 같음을 보일 것이다.


1.

  • Case 1. $c=0$

    $cf=0$이 적분가능함은 자명하다. 또한 다음의 등식이 성립함도 자명하다.

    $$ \int_{a}^{b}0fd\alpha=0=0\int_{a}^{b}fd\alpha $$

  • Case 2. $c>0$

    임의의 양수 $\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 그러면 적분가능할 필요충분조건에 의해서 다음을 만족하는 분할 $P=\left\{ a=x_{0}<\cdots<x_{i}<\cdots<x_{n}=b\right\}$가 존재한다.

    $$ \begin{equation} U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha)<\frac{\varepsilon}{c} \label{eq3} \end{equation} $$

    그리고 다음과 같이 두자.

    $$ \begin{align*} M_{i} &= \sup _{[x_{i-1},x_{i}]} f(x) \\ m_{i} &= \inf _{[x_{i-1},x_{i}]} f(x) \\ M_{i}^{c} &= \sup _{[x_{i-1},x_{i}]}cf(x) \\ m_{i}^{c} &= \inf _{[x_{i-1},x_{i}]} cf(x) \end{align*} $$

    그러면 $c>0$이므로 $cM_{i}=M_{i}^{c}$이고 $cm_{i}=m_{i}^{c}$이다. 그러면 리만-(스틸체스) 합의 정의와 $\eqref{eq3}$에 의해서 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align} U(P,cf,\alpha)- L(P,cf,\alpha) &= \sum \limits_{i=1}^{n}M_{i}^{c}\Delta \alpha_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n}m_{i}^{c}\Delta \alpha_{i} \nonumber \\ &= \sum \limits_{i=1}^{n}cM_{i}\Delta \alpha_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n}cm_{i}\Delta \alpha_{i} \nonumber \\ &= c\left( \sum \limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta \alpha_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta \alpha_{i} \right) \nonumber \\ &= c\Big[ U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)\Big] \nonumber \\ &< \varepsilon \label{eq4} \end{align} $$

    따라서 적분 가능할 필요충분 조건에 의해 $cf$는 적분 가능하다.

    적분은 상합보다 작으므로 다음이 성립한다.

    $$ c \int_{a}^{b}fd \alpha \le cU(P,f,\alpha)=U(P,cf,\alpha) $$

    이다. 그러면 $\eqref{eq4}$와 보조정리에 의해 다음이 성립한다.

    $$ c\int _{a}^{b}f d\alpha \le U(P,cf,\alpha) < \int _{a}^{b} cf d\alpha +\varepsilon $$

    이때 $\varepsilon$는 임의의 양수라고 가정했으므로 다음이 성립한다.

    $$ \begin{equation} c\int_{a}^{b}fd\alpha \le \int_{a}^{b}cfd\alpha \label{eq6} \end{equation} $$

    반대방향 부등호를 보이는 과정도 비슷하다. $\eqref{eq3}$과 보조정리에 의해서 다음이 성립한다.

    $$ cU(P,f,\alpha) \le c\int_{a}^{b}fd\alpha +\varepsilon $$

    또한 다음의 식이 성립한다.

    $$ \int_{a}^{b} cfd\alpha \le U(P,cf,\alpha)=cU(P,f,\alpha) $$

    위 두 식으로부터 아래의 식을 얻는다.

    $$ \int_{a}^{b} cfd \alpha \le cU(P,f,\alpha)< c\int_{a}^{b}fd\alpha +\varepsilon $$

    이때 $\varepsilon$는 임의의 양수이므로 다음이 성립한다.

    $$ \begin{equation} \int_{a}^{b} cf d\alpha \le c\int_{a}^{b}fd\alpha \label{eq7} \end{equation} $$

    $\eqref{eq6}$과 $\eqref{eq7}$에 의해서 다음이 성립한다.

    $$ \int_{a}^{b}cfd\alpha = c\int_{a}^{b}fd\alpha $$

  • Case 3. $c=-1$

    증명 과정은 Case 2. 와 비슷하다. 우선 임의의 양수 $\varepsilon$가 주어졌다고 하자. $f$는 적분 가능하므로 적분가능할 필요충분조건에 의해, 주어진 $\varepsilon$에 대해서 다음을 만족시키는 분할 $P$가 존재한다.

    $$ U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$

    이제 다음과 같이 두자.

    $$ \begin{align*} M_{i} &= \sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f \\ m_{i} &= \inf_{[x_{i-1},x_{i}]}f \\ M_{i}^{\ast} &= \sup _{[x_{i-1},x_{i}]}(-f) \\ m_{i}^{\ast} &= \inf_{[x_{i-1},x_{i}]}(-f) \end{align*} $$

    그러면 $M_{i}=-m_{i}^{\ast}$이고 $m_{i}=-M_{i}^{\ast}$이다. 따라서 $M_{i}-m_{i}=M_{i}^{\ast}-m_{i}^{\ast}$이다. 그러므로 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align*} U(P,-f,\alpha)-L(P,-f,\alpha) &=\sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}^{\ast}\Delta \alpha_{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}^{\ast}\Delta \alpha_{i} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta \alpha_{i} - \sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta\alpha_{i}
    \\ &=U(P,f,\alpha) -L(P,f,\alpha) \\ &< \varepsilon \end{align*} $$

    따라서 $-f$는 적분 가능하다.

    Case 2. 에서의 증명과 마찬가지로, 보조정리에 의해 다음이 성립한다.

    $$ U(P,-f,\alpha)<\int_{a}^{b}(-f)d\alpha +\varepsilon $$

    또한 다음의 식이 성립한다. $$ -\int_{a}^{b}fd\alpha\le -L(P,f,\alpha)=U(P,-f,\alpha)<\int_{a}^{b}(-f)d\alpha + \varepsilon $$

    이때 $\varepsilon$는 임의의 양수이므로 다음이 성립한다. $$ -\int_{a}^{b}fd\alpha \le \int_{a}^{b}(-f)d\alpha $$

    그러면 보조정리에 의해서 다음의 식이 성립한다.

    $$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha -\varepsilon < L(P,-f,\alpha)=-U(P,f,\alpha)\le-\int_{a}^{b}fd\alpha $$

    $\varepsilon$은 임의의 양수이므로 다음이 성립한다.

    $$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha \le -\int_{a}^{b}fd\alpha $$

    따라서 다음을 얻는다.

    $$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha =-\int_{a}^{b}fd\alpha $$

  • Case 4. $c<0 \quad \text{and} \quad c\ne -1$

    Case 2.Case 3. 에 의해서 성립한다.

2.

$f=f_{1}+f_{2}$라고 하자. $P$를 $[a,b]$의 임의의 분할이라고 하자. 그러면 리만(-스틸체스) 상합, 하합의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} L(P,f_{1},\alpha) + L(P,f_{2},\alpha)& \le L(P,f,\alpha) \\ &\le U(P,f,\alpha) \\ &\le U(P,f_{1},\alpha) +U(P,f_{2},\alpha) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$

임의의 양수 $\varepsilon > 0$가 주어졌다고 하자. 그러면 적분가능할 필요충분조건에 의해서 다음을 만족하는 분할 $P_{j}$가 존재한다.

$$ U(P_{j},f_{j},\alpha)-L(P_{j},f_{j},\alpha)<\varepsilon,\quad (j=1,2) $$

이제 $P$를 다시 $P_{1}$과 $P_{2}$의 공통 세분이라고 하자. 그러면 $\eqref{eq1}$에 의해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) &\le \left[ U(P,f_{1},\alpha)-L(P,f_{1},\alpha) \right] + \left[ U(P,f_{2},\alpha)-L(P,f_{2},\alpha) \right] \\ &< \varepsilon \end{align*} $$

따라서 적분가능할 필요충분조건에 의해 $f$는 적분 가능하다. 그러면 보조 정리에 의해서 아래의 식이 성립한다.

$$ U(P,f_{j},\alpha)<\int _{a}^{b}f_{j}d\alpha+\varepsilon,\quad (j=1,2) $$

또한 정의에 의해 적분보다 상합이 크므로 다음이 성립한다.

$$ \int_{a}^{b}fd\alpha \le U(P,f,\alpha) $$

위 식과 $\eqref{eq1}$의 세번째 부등호에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \int_{a}^{b}fd\alpha &\le U(P,f,\alpha) \\ &\le U(P,f_{1},\alpha)+U(P,f_{2},\alpha) \\ &< \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha +\int_{a}^{b}f_{2}d\alpha + 2\varepsilon \end{align*} $$

이때 $\varepsilon$은 임의의 양수이므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b} fd\alpha \le \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2}d\alpha \label{eq2} \end{equation} $$

반대 방향 부등호가 성립함을 보이면 증명이 끝난다. 적분 가능한 함수의 상수배도 적분가능함을 위에서 보였으므로 $-f_{1}, -f_{2}$도 적분 가능함을 알고있다. 따라서 이 두 함수에 대해서 위의 과정을 반복하면 아래의 식을 얻는다

$$ \int_{a}^{b}(-f)d\alpha \le \int_{a}^{b}(-f_{1})d\alpha + \int_{a}^{b} (-f_{2})d\alpha $$

또한 $\displaystyle \int (-f)d\alpha=-\int fd\alpha$이므로 양변에 $-1$을 곱하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b}fd\alpha \ge \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2}d\alpha \label{eq5} \end{equation} $$

따라서 $\eqref{eq2}$와 $\eqref{eq5}$에 의해서 다음을 얻는다.

$$ \int_{a}^{b}fd\alpha = \int_{a}^{b}f_{1}d\alpha + \int_{a}^{b} f_{2}d\alpha $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p128-129 ↩︎

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