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라플라스 변환의 선형성

linearity of laplace transform

정리¹

$f_1$과 $f_2$를 라플라스 변환이 존재하는 함수라고 하자. 그리고 $c_1, c_2$를 임의의 상수라고 하자.그러면

$$ \mathcal{L} \left\{ c_1f_1 + c_2f_2 \right\} = c_1\mathcal{L} \left\{f_1 \right\} + c_2\mathcal{L} \left\{f_2 \right\} $$

설명

라플라스 변환이 적분변환이라 당연하다.

증명

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ c_1f_1+c_2f_2 \right\} &= \int_0^\infty e^{-st} \left( c_1f_1+c_2f_2 \right) dt \\ &= \int_0^\infty e^{-st}c_1f_1 dt + \int _0^\infty e^{-st}c_2f_2 dt \\ &= c_1\int_0^\infty e^{-st}f_1 dt + c_2\int _0^\infty e^{-st}f_2 dt \\ &= c_1\mathcal{ L} \left\{ f_1 \right\} + c_2 \mathcal{ L} \left\{ f_2 \right\} \end{align*} $$

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1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p246 ↩︎