선형변환공간 📂선형대수

선형변환공간

Linear Transformation Space

정의1

벡터공간 $V$에서 $W$로의 모든 선형변환들의 집합을 $L(V,W)$라고 표기한다.

$$ L(V, W) := \left\{ T : V \to W \text{ is linear} \right\} $$

이를 다음과 같이 표기하기도 하며, 준동형사상 공간homomorphism space이라 한다.

$$ \operatorname{Hom}(V,W) = L(V, W) = \left\{ T : V \to W \text{ is linear} \right\} $$

또한 $W = V$일 때, 다음과 같이 표기하기도 하며 이를 준자기동형사상 공간endomorphsim space이라 한다.

$$ \operatorname{End}(V) = \operatorname{Hom}(V,V) = \operatorname{Hom}(V) = L(V,V) = L(V) $$

설명

준동형homomorphic이라는 것은 말그대로 동형에 준하다는 것으로, 동형 사상의 조건에서 가역이라는 조건이 빠져있다.

$T, U \in L(V, W)$라 하자. 덧셈 $T+U$와 스칼라곱셈 $aT$를 다음과 같이 정의한다.

$$ (T+U) (x) = T(x) + U(x) \quad \text{and} \quad (aT)(x) = aT(x) \quad \for x \in V, a \in \mathbb{R} $$

그러면 $aT+U$도 다시 $L(V, W)$에 속하는 선형변환이되며(두 연산에 대해 닫혀있다), $L(V, W)$는 위의 연산에 대해서 벡터공간이 된다.

정리

$V, W$를 순서기저 $\beta, \gamma$가 주어진 유한차원 벡터공간이라고 하자. 그리고 $T, U : V \to W$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  1. $[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}$

  2. $[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}$

이때 $[T]_{\beta}^{\gamma}$는 $T$의 행렬표현이다.

증명

두 증명이 비슷하므로 첫번째 등식만 증명한다. $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$이고 $\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$이라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 스칼라 $a_{ij}, b_{ij}$가 유일하게 존재한다.

$$ T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} \quad \text{and} \quad U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i} $$

따라서

$$ (T + U)(\mathbf{v}_{j}) = T(\mathbf{v}_{j}) + U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} + \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i} = \sum_{i=1}^{m}(a_{ij} + b_{ij})\mathbf{w}_{i} $$

그러므로

$$ ([T + U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = ([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij} + ([U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} $$


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p82 ↩︎

댓글