선형변환공간과 그 행렬표현공간은 동형이다 📂선형대수

선형변환공간과 그 행렬표현공간은 동형이다

Linear Transformation Space is Isomorphic to Its Matrix Representation Space

정리1

벡터공간 $V, W$의 차원이 각각 $n, m$이라고 하자. 그리고 $\beta, \gamma$가 각각의 순서기저라고 하자. 그러면 다음과 같이 정의되는 함수 $\Phi$는 동형사상이다.

$$ \Phi : L(V, W) \to M_{m\times n}(\mathbb{R}) \quad \by \quad \Phi(T) = [T]_{\beta}^{\gamma} $$

$[T]_{\beta}^{\gamma}$는 $T$의 행렬표현이다.

따름정리

선형변환의 동형인 것의 필요충분 조건은 정의역과 공역의 차원이 같은 것이므로,

$$ \dim( L(V,W) ) = \dim (M_{m\times n}) = mn = \dim(V) \dim(W) $$

설명

유한차원에 한해서, 모든 선형변환에는 대응되는 행렬이 있고 반대도 마찬가지이다. 이 둘 사이에서 덧셈과 합성(행렬이면 행렬곱)이 잘 보존되고, 따라서 선형변환이나 행렬이나 같다고 생각할 수 있다. $V$의 원소에 $T$를 작용하는 것(아래의 왼쪽)이나 좌표벡터와 행렬표현을 행렬곱하는 것(아래의 오른쪽)이나 본질적으로 같다.

$$ \mathbf{w} = T(\mathbf{v}) \qquad\qquad[\mathbf{w}]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} [\mathbf{x}]_{\beta} $$

증명

우선 $\Phi$가 선형변환인 것은 다음과 같이 쉽게 알 수 있다.

$\Phi(aT + U) = \href{../3283}{[aT+U]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}} = a\Phi(T) + \Phi(U)$

이제 $\Phi$가 일대일이고 전사인 것을 보이면 된다. $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}, \gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{n} \right\}$라고 하자. 그리고 임의의 $m \times n$ 행렬 $A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$이 주어졌다고 하자. 그러면 다음을 만족하는 선형변환 $T : V \to W$가 유일하게 존재한다.

$$ T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{n}A_{ij}\mathbf{w}_{i},\quad \for 1\le j \le n $$

이는 $[T]_{\beta}^{\gamma} = A$임을 의미하고, 다시말해 $\Phi(T) = A$이다. 따라서 모든 $A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$에 대해서 $T \in L(V, W)$가 유일하게 결정되므로 $\Phi$는 전단사함수이고, 동형사상이다.


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p103-104 ↩︎

댓글