Lp 공간의 선형 범함수

Lp 공간의 선형 범함수

정의1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $1 \le p \le \infty$이고 $p^{\prime}=\frac{p}{p-1}$이라고 하자. 각각의 $v \in L^{p^{\prime}}(\Omega)$에 대해서 $L^p(\Omega)$공간상의 선형 범함수 $L_v\ :\ L^p(\Omega) \rightarrow \mathbb{C}$를 아래와 같이 정의한다.

$$ L_v(u) = \int_{\Omega} u(x)v(x)dx, \quad u\in L^p(\Omega) $$

정리

$L^p$공간상의 놈을 $\| \cdot \|_{p}$로 표기하자. 그러면 횔더 부등식에 의해 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \left\| L_v(u) \right\| \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}} $$

그러면 $L_{v}$의놈은 아래와 같은 부등식을 만족한다.

$$ \left\|L_v; (L^p)^{\ast} \right\| :=\sup \left\{ |L_v(u)| \ :\ \left\| u \right\|\le1 \right\} \le \left\| v \right\|_{p^{\prime}} $$

이때 $(L^p)^{\ast}$는 $L^p$의 듀얼이고. 실제로는 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

증명


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p45-46 ↩︎

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