선형 결합, 생성

선형 결합, 생성

정의: 선형결합1

$\mathbf{w}$를 벡터공간 $V$의 벡터라고 하자. 만약 $w$를 $V$의 벡터 $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}$와 임의의 상수 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$에 대해 다음과 같이 표현할 수 있으면 $\mathbf{w}$를 $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}$들의 선형결합linear combination 혹은 일차결합이라 한다.

$$ \mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} $$

또한 이때 상수 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$들을 선형결합 $\mathbf{w}$의 계수coefficients라 한다.

설명

수식으로 나타낸 것이 낯설 수 있지만 어려울 것 없는 개념이다. 2차원 직교 좌표계에서의 벡터 표시가 바로 두 단위벡터 $\hat{\mathbf{x}} = (0,1)$, $\hat{\mathbf{y}} = (0,1)$의 선형결합이다.

$$ \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}) = (v_{1},0)+(0,v_{2}) = v_{1}(1,0) + v_{2}(0,1) = v_{1}\hat{\mathbf{x}} + v_{2} \hat{\mathbf{y}} $$

정리

$S = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}$를 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 그러면 다음의 것들이 성립한다.

(a) $S$의 벡터들의 가능한 모든 선형결합들의 집합을 $W$라고 하자. $W$는 $V$의 부분공간이다.

(b) (a) 의 $W$는 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간 중 가장 작은 부분 공간이다. 즉 $W^{\prime}$을 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간이라고 하면 다음의 식이 성립한다.

$$ S \subset W \le W^{\prime} $$

증명

(a)

부분공간 판별법에 의해 $W$가 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있는지 확인하면 된다. 이를 위해서 다음과 같이 두자.

$$ \mathbf{u} = c_{1} \mathbf{w}_{1} + c_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{r} \mathbf{w}_{r}, \quad \mathbf{v} = k_{1} \mathbf{w}_{1} + k_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{w}_{r} $$

(b)

$W^{\prime}$을 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간이라고 하자. 그러면 $W^{\prime}$는 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있으므로 $S$의 원소들의 모든 선형결합은 $W^{\prime}$의 원소이다. 따라서

$$ W \le W^{\prime} $$

정의: 생성

정리의 $W$를 $S$에 의해서 생성된spanned $V$의 부분공간이라고 한다. 또한 벡터 $\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}$들이 $W$를 생성한다span고 하며 이를 다음과 같이 표기한다.

$$ W = \text{span}\left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\} \quad \text{or} \quad W = \text{span}(S) $$

설명

생성이라는 개념이 필요한 이유는 어떤 원소들을 포함하는 가장 작은 집합을 생각하기 위함이다. 실제로 위의 정리에서 이러한 점을 확인할 수 있다. 여기에 $S$ 자체에서도 중복되는 원소들을 모두 빼면 이는 벡터공간의 기저가 된다.

정리

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}$와 $S' = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}$을 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 그러면

$$ \text{span} \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} = \text{span} \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\} $$

가 성립할 필요충분조건은 $S$의 모든 벡터들이 $S'$의 벡터들의 선형결합으로 나타나고, $S'$의 모든 벡터들이 $S$의 벡터들의 선형결합으로 나타나는 것이다.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p220-222 ↩︎

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