📂행렬대수

일차/이차/쌍선형/에르미트 형식

Linear/Quadratic/Bilnear/Hermite Form

일차 형식

정의¹

상수 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$과 변수 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$들에 대해서 다음과 같은 일차 다항식을 일차형식^{linear form}이라 한다.

$$ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = \sum \limits _{i=1}^{n} a_{i}x_{i} $$

설명

$a_{i}$, $x_{i}$들이 실수이면 $\mathbb{R}^{n}$ 상의 일차 형식이라 한다. 또한 상수와 변수를 $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}^{T}$, $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}$와 같이 열벡터로 나타내면 일차 형식은 다음과 같이 행렬 내적으로 표현할 수 있다.

$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{a}^{T} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} =\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i}x_{i} $$

이차 형식

정의

$1\le i,j \le n$에 대해서, 실수인 변수 $x_{i}$와 상수 $a_{ij}$들의 이차 다항식을 이차 형식^{quadratic form}이라 한다.

$$ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + \cdots a_{nn}^{\ }x_{n}^{2} + \left( \text{all possible terms } a_{ij}x_{i}x_{j} \text{ in which } i\ne j \right) = \sum \limits _{i=1}^{n} \sum \limits _{j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} $$

이때 $a_{ij}=a_{ji}$이고, 인덱스가 다른 $a_{ij}x_{i}x_{j}$꼴의 항을 혼합항^{cross product terms}이라 한다. 이 정의를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

변수를 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{x}$, 상수를 $n\times n$ 대칭행렬 $A$라고 하면 이에 대한 이차 형식은 $Q_{A}(\mathbf{x})$로 표기하고 $A$에 연관된 이차 형식^{quadratic form associated with A}이라 부른다.

$$ Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1} ^{n}\sum \limits _{j=1} ^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} $$

설명

예로 $\mathbb{R}^{2}$상의 이차 형식은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + a_{21}^{\ }x_{2}^{\ }x_{1}^{\ } \\ =&\ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } \end{align*} $$

$\mathbb{R}^{3}$상의 이차 형식은 다음과 같다.

$$ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{33}^{\ }x_{3}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + 2a_{13}^{\ }x_{1}^{\ }x_{3}^{\ } + 2a_{23}^{\ }x_{2}^{\ }x_{3}^{\ } $$

중복을 피하기 위해 위와 같이 혼합항을 결합해서 적는 것이 일반적이다. 이차 형식은 행렬 내적의 성질에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. 실수, 복소수에 대해서 각각 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \end{align*} $$

$A$가 대각행렬일 경우에는 $a_{ij}=0 (i \ne j)$이므로 이차 형식 $Q_{A}(\mathbf{x})$는 혼합항을 가지지 않는다.

$$ Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} $$

쌍선형 형식

$n$차원 벡터 공간 $X$의 두 원소 $\mathbf{x}, \mathbf{u}$가 다음과 같다고 하자.

$$ \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix},\quad \mathbf{u}^{T} = \begin{bmatrix} u_{1} & u_{2} & \cdots & u_{n} \end{bmatrix} $$

실수인 상수 $a_{ij} (1\le i,j \le n)$에 대해서 다음과 같이 정의되는 함수 $A$를 쌍선형 형식^{bilinear form}이라 한다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x}):=\sum \limits_{i,k=1}^{n} a_{ik}u_{i}x_{k} $$

상수들의 행렬을 다음과 같이 표기하자.

$$ \quad A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

그러면 쌍선형 형식을 다음과 같이 행렬 곱으로 표현되며, 이를 행렬 $A$에 대응하는 쌍선형 형식이라고도 한다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x})=\sum \limits_{i,k=1}^{n} a_{ik}u_{i}x_{k}= \mathbf{u}^{T}A\mathbf{x} $$

설명

만약 일차 연립방정식이

$$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=y_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=y_{2} \\ &\vdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=y_{n} \end{cases} $$

와 같이 주어져있을 때 각 방정식에 $u_{i}$를 곱한 뒤 모두 더해주는 것으로 아래와 같은 쌍선형 형식을 얻을 수 있다. $I$는 단위 행렬이다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x})=\sum \limits_{i,k=1}^{n} a_{ik}u_{i}x_{k}=\sum \limits_{i=1}^{n}u_{i}y_{i}=I(\mathbf{u}, \mathbf{y}) $$

이차 형식은 쌍선형 형식에서 $\mathbf{u} = \mathbf{x}$인 특수한 경우인 것을 알 수 있다.

에르미트 형식

쌍선형 형식에서 상수 $a_{ij} (1\le i,j \le n)$가 복소수이면서 $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$를 만족하면, 에르미트 형식^{Hermite form}이라 한다.

$$ A(\mathbf{u},\mathbf{x})=\sum \limits _{i,k=1} ^{n} a_{ik}u_{i}x_{k} = \mathbf{u}^{\ast} A \mathbf{x} $$

설명

쉽게 말해서 행렬 $A$가 에르미트 행렬인 경우이다.