일반적인 위상공간에서 수열의 극한은 유일하지 않다

일반적인 위상공간에서 수열의 극한은 유일하지 않다

정리

일반적으로, 위상공간에서 수열의 극한은 유일하지 않다.

설명

도대체 이게 무슨 소린가 싶겠지만 놀랍게도 사실이다. 우리는 이제껏 해석학 등에서 수열을 포함하는 구간이 점점 좁아지면서 한 점으로 수렴하는 이미지를 떠올려왔다. 하지만 위상수학에서 정의하는 수렴의 개념에 따르면 위상공간에 따라선 한 점으로 수렴할 이유가 전혀 없다.

극한의 유일성을 보장하기 위해서는 하우스도르프 공간이 주로 가정된다.

반증

극한이 복수로 존재하는 반례를 제시하면 충분하다.

여유한공간 $\left( \mathbb{R} , \mathscr{T}_{f} \right)$ 에서 서로 다른 점들로 이루어진 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$ 을 생각해보자. 우선 $\left\{ x_{n} \right\}$ 이 수렴하는 점은 임의로 $x \in \mathbb{R}$ 라 두자. 여기서 $x$ 를 포함하는 열린 집합 $U \in \mathscr{T}_{f}$ 가 존재하고, $\mathbb{R} \setminus U$ 는 유한집합이다. $\left\{ x_{n} \right\}$ 은 서로 다른 점들로 이루어져있으므로 모든 $n > n_{0}$ 에 대해 $x_{n} \notin \mathbb{R} \setminus U$ 를 만족하는 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 이 존재할 수 없다. 그런데 $\left\{ x_{n} \right\}$ 이 수렴하긴 수렴하므로, 모든 $n > n_{0}$ 에 대해 $x_{n} \in U$ 를 만족하는 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 이 존재해야한다. 수렴의 정의에 따라 $\left\{ x_{n} \right\}$ 는 $x$ 로 수렴하긴 하지만 여기서 $x$ 는 무엇이 되든 딱히 상관이 없다.

이해가 잘 안 간다면 수렴의 정의가 어떻게 변했는지와 여유한공간의 열린 집합이 뭔지 생각해보는 게 좋다.

기존의 거리공간에서 열린 집합이라고 하면 한 점을 중심으로 주어진 거리 이내의 점들의 집합을 말하는 것이었다. 따라서 ‘모든 열린 집합’이라고는 하지만 실제로는 그 점의 근방에서 조건을 만족시키는 것이 관건이었다. 아무리 작게 잡아도 계속해서 조건을 만족시킨다면 ‘모든 열린 집합’에 대한 체크가 끝나는 것이나 마찬가지인 것이다.

하지만 여유한공간에서 $U$ 와 또다른 열린 공간을 생각해본다면, $U \setminus \left\{ a \right\}$ 와 같은 것도 열린 집합이 된다. 전체공간이 실수든 뭐든 모든 점을 하나씩 빼기만해도 열린 집합은 열린 집합으로, 여기서 ‘거리’를 생각하는 건 무의미하다. 따라서 모든 열린 집합에 대해 체크한다고 하더라도 거리공간처럼 점점 작아질 이유가 없으며, 극한이 특정되지 않는 것이다.

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