실수 집합에서 집적점이란

실수 집합에서 집적점이란

정의

실수상에서의 한 점 $x \in \mathbb{R}$ 과 부분집합 $A \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $x$ 를 포함한 임의의 열린 집합 $O$ 에 대해 $ O \cap ( A \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset $ 이면 $x$ 를 집적점Limit Point이라 정의한다. $A$ 의 집적점의 집합을 $A$ 의 도집합Derived set이라 부르며, $A'$ 로 표기한다.

설명

위 정의에서 조건은 $( O \setminus \left\{ x \right\} ) \cap A \ne \emptyset$ 이어도 상관 없다. 직관적으로 예시로써 $[a,b]$ 의 도집합은 여전히 $[a,b]$ 인 것을 들 수 있을 것이다.

한편 집적점이 주어진 집합의 내부에 속해야한다는 조건은 없으므로, $(a,b)$ 의 도집합 또한 $[a,b]$ 가 된다. 영어 표현으로 보자면 $\lim$ 으로 쓰는 극한Limit 과 상당히 유사함을 알 수 있다. 잘 생각해보면 ‘임의의 열린 집합’에 대해서 조건을 만족시킨다는 것은 실제로 극한의 개념과 크게 다르지 않다. 조건이 수학도로써 받아들이기 어려운 수준은 아니지만 그 표현 상 헷갈릴 수는 있을 것이다.

두 용어의 차이를 굳이 말해보자면 극한은 함수가 ‘수렴할 때의 값’이고, 집적점은 ‘극한이 될 수 있는 후보’를 모두 일컫는 것이라고 보면 된다. 수열 $\displaystyle {{1} \over {n}}$ 의 극한은 $0$ 이고 집적점도 $0$ 하나뿐이지만 구간 $(a,b)$ 에서 도집합은 $[a,b]$ 이되 콕찝어서 극한이 무엇이라고 말하지는 않는다. 이런 용례에서 알 수 있는 것은 집적점을 논할 때는 유일하다는 전제가 없다는 점이다. 아래의 간단한 정리들을 증명해보며 개념을 잡으면 좋다.

정리

(a) 유한집합에는 집적점이 존재하지 않는다.

(b) $\mathbb{Q}’ = \mathbb{R}$

증명

(a)

정의에 따라서 홑원소 집합 $A:=\left\{ x \right\}$ 는 $O$ 를 어떻게 잡더라도 $A \setminus \left\{ x \right\} = \emptyset$ 이므로 $x$ 는 집적점의 조건을 만족시킬 수 없다.

(b)

유리수 역시 실수이므로, 실수의 조밀성에 의해 간단히 확인할 수 있다.

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